2011年安徽（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年安徽（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设i 是虚数单位, 复数1 + ai 2 −i 为纯虚数, 则实数a 为 ( ) 2 2 5分
   A. 2 B. −2 C. −1 D. 1
2. 2. 双曲线2x2 −y2 = 8 的实轴长是 ( ) √ 2 √ 2 5分
   A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
3. 3. 设f (x) 是定义在R 上的奇函数, 当x ⩽0 时, f (x) = 2x2 −x, 则 ( ) 5分
   F. (1) = A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
4. 4. 设变量x, y 满足|x| + |y| ⩽1, 则x + 2y 的最大值和最小值分别为 ( ) 5分
   A. 1, −1 B. 2, −2 C. 1, −2 D. 2, −1
5. 5. 在极坐标系中, 点 ( 2, π 3 ) 到圆ρ = 2 cos θ 的圆心的距离为 ( ) (B) √ 4 + π2 9 (C) √ 1 + π2 9 (D) √ 3 5分
   A. 2
6. 6. 一个空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 ( ) 1 1 4 2 4 俯视图 正(主) 视图 侧(左) 视图 √ 17 √ 17 5分
   A. 48 B. 32 + 8 C. 48 + 8 D. 80
7. 7. 命题“所有能被2 整除的整数都是偶数”的否定是 ( ) 5分
   A. 所有不能被2 整除的整数都是偶数 B. 所有能被2 整除的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被2 整除的整数是偶数 D. 存在一个能被2 整除的整数不是偶数
8. 8. 设集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, 则满足S ⊆A 且 S ∩B̸ = ∅的集合S 的个数是 ( ) 5分
   A. 57 B. 56 C. 49 D. 8
9. 9. 已知函数f (x) = sin (2x + φ), 其中φ 为实数, 若f (x) ⩽ f (π 6 ) 对 x ∈R 恒成立, 且f (π 2 ) > f (π), 则f (x) 的单调递增区间是 ( ) (A) [ kπ −π 3 , kπ + π 6 ] (k ∈Z) (B) [ kπ, kπ + π 2 ] (k ∈Z) (C) [ kπ + π 6 , kπ + 2π 3 ] (k ∈Z) (D) [ kπ −π 2 , kπ ] (k ∈Z) 5分
10. 10. 函数f (x) = axm(1 −x)n 在区间[0, 1] 上的图象如图所示, 则m, n 的值 可能是 ( ) x y 0.5 1 0.5 O 5分
    A. m = 1, n = 1 (B) m = 1, n = 2 (C) m = 2, n = 1 (D) m = 3, n = 1

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 如图所示, 程序框图(算法流程图) 的输出结果是 . 开始 T = 0, k = 0 T = T + k T > 105? k = k + 1 输出k 结束 否 是 5分
2. 2. 设(x −1)21 = a0 + a1x + a2x2 + · · · + a21x21, 则a10 + a11 = . 5分
3. 3. 已知向量a, b 满足(a + 2b) · (a −b) = −6, 且|a| = 1, |b| = 2, 则a 与b 的夹角为 . 5分
4. 4. 已知△ABC 的一个内角为120◦, 并且三边长构成公差为4 的等差数列, 则△ABC 的面积为 . 5分
5. 5. 在平面直角坐标系中, 如果x 与y 都是整数, 就称点(x, y) 为整点, 下列命 题中正确的是 . (写出所有正确命题的编号) ①存在这样的直线, 既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果k 与b 都是无理数, 则直线y = kx + b 不经过任何整点; ③直线l 经过无穷多个整点, 当且仅当l 经过两个不同的整点; ④直线y = kx + b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与b 都是有理 数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设f (x) = ex 1 + ax2 , 其中a 为正实数. (1) 当a= 4 3 时, 求f (x) 的极值点; (2) 若f (x) 为R 上的单调函数, 求a 的取值范围.
2. 2. 如图, ABEDFC 为多面体, 平面ABED 与平面ACFD 垂直, 点O 在线 段AD 上, OA = 1, OD = 2, △OAB, △OAC, △ODE, △ODF 都是正三 角形. (1) 证明直线BC EF; (2) 求棱锥F −OBED 的体积. A E F B C D O 643
3. 3. 在数1 和100 之间插入n 个实数, 使得这n + 2 个数构成递增的等比数 列, 将这n + 2 个数的乘积记作Tn, 再令an = lg Tn, n ⩾1. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设bn = tan an · tan an+1, 求数列{bn} 的前n 项和Sn.
4. 4. (1) 设x ⩾1, y ⩾1, 证明x + y + 1 xy ⩽1 x + 1 y + xy; (2) 1 < a ⩽b ⩽c, 证明logab + logbc + logca ⩽logba + logcb + logac.
5. 5. 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务, 每次只派一个人 进去, 且每个人只派一次, 工作时间不超过10 分钟, 如果前一个人10 分钟 内不能完成任务则撤出, 再派下一个人. 现在一共只有甲、乙、丙三个人可 派, 他们各自能完成任务的概率分别p1, p2, p3, 假设p1, p2, p3 互不相等, 且假定各人能否完成任务的事件相互独立. (1) 如果按甲最先, 乙次之, 丙最后的顺序派人, 求任务能被完成的概率. 若 改变三个人被派出的先后顺序, 任务能被完成的概率是否发生变化? (2) 若按某指定顺序派人, 这三个人各自能完成任务的概率依次为q1, q2, q3, 其中q1, q2, q3 是p1, p2, p3 的一个排列, 求所需派出人员数目X 的分 布列和均值(数学期望)EX; (3) 假定1 > p1 > p2 > p3, 试分析以怎样的先后顺序派出人员, 可使所需 派出的人员数目的均值(数学期望) 达到最小.
6. 6. 设λ > 0, 点A 的坐标为(1, 1), 点B 在抛物线y = x2 上运动, 点Q 满 足# » BQ = λ# » QA, 经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M, 点P 满足 # » QM = λ# » MP, 求点P 的轨迹方程. x y O −1 1 1 A B P M Q • 644

原卷配图（含真实几何/应用题图示）