2011年山东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年山东（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合M = {x | (x + 3)(x −2) < 0}, N = {x | 1 ⩽x ⩽3}, 则M ∩ N = ( ) 5分
   A. [1, 2) B. [1, 2] C. (2, 3] D. [2, 3]
2. 2. 复数z = 2 −i 2 + i (i 为虚数单位) 在复平面内对应的点所在的象限为 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 3. 若点(a, 9) 在函数y = 3x 的图象上, 则tan aπ 6 的值为 ( ) (B) √ 3 3 (D) √ 3 5分
   A. 0 C. 1
4. 4. 曲线y = x3 + 11 在点P (1, 12) 处的切线与y 轴交点的纵坐标是 ( ) 5分
   A. −9 B. −3 C. 9 D. 15
5. 5. 已知a, b, c ∈R, 命题“若a+b+c = 3, 则a2 +b2 +c2 ⩾3”的否命题是( ) 5分
   A. 若a + b + c̸ = 3, 则a2 + b2 + c2 < 3 B. 若a + b + c = 3, 则a2 + b2 + c2 < 3 C. 若a + b + c̸ = 3, 则a2 + b2 + c2 ⩾3 D. 若a2 + b2 + c2 ⩾3, 则a + b + c = 3
6. 6. 若函数f (x) = sin ωx (ω > 0) 在区间 [ 0, π 3 ] 上单调递增, 在区间 [π 3 , π 2 ] 上单调递减, 则ω = ( ) 3 2 5分
   A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
7. 7. 设变量x, y 满足约束条件        x + 2y −5 ⩽0, x −y −2 ⩽0, x ⩾0, 则目标函数z = 2x + 3y + 1 的最大值为 ( ) 5分
   A. 11 B. 10 C. 9 D. 8.5
8. 8. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表: 广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程ˆy = ˆbx + ˆa 中的ˆb 为9.4, 据此模型预报广告费用 为6 万元时销售额为 ( ) 5分
   A. 63.6 万元 B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元
9. 9. 设M (x0, y0) 为抛物线C: x2 = 8y 上一点, F 为抛物线C 的焦点, 以F 为 圆心、|FM| 为半径的圆和抛物线C 的准线相交, 则y0 的取值范围是( ) 5分
   A. (0, 2) B. [0, 2] C. (2, +∞) D. [2, +∞)
10. 10. 函数y = x 2 −2 sin x 的图象大致是 ( ) (A) x 2π y 4 O (B) x 2π y 4 O (C) x 2π y 4 O (D) x 2π y 4 O 5分
11. 11. 如图是长和宽分别相等的两个矩形. 给定下列三个命题: ①存在三棱柱, 其正(主) 视图、俯视图如图; ②存在四棱柱, 其正(主) 视图、俯视图如 图; ③存在圆柱, 其正(主) 视图、俯视图如图. 其中真命题的个数是( ) 俯视图 正(主) 视图 5分
    A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
12. 12. 设A1, A2, A3, A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点, 若# » A1A3 = λ# » A1A2 (λ ∈R), # » A1A4 = µ# » A1A2 (µ ∈R), 且1 λ + 1 µ = 2, 则称A3, A4 调和分割 A1, A2. 已知点C (c, 0), D (d, 0) (c, d ∈R) 调和分割点A (0, 0), B (1, 0), 则下面说法正确的是 ( ) 5分
    A. C 可能是线段AB 的中点 B. D 可能是线段AB 的中点 C. C, D 可能同时在线段AB 上 D. C, D 不可能同时在线段AB 的延长线上

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300 名学生, 为了 解学生的就业倾向, 用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40 名学 生进行调查, 应在丙专业抽取的学生人数为 . 5分
2. 2. 执行如图所示的程序框图, 输入l = 2, m = 3, n = 5, 则输出的y 的值 是 . 开始 输入非负整数l, m, n l2 + m2 + n2 = 0 y = 70l + 21m + 15n y > 105 y = 105 y = y −105 输出y 结束 否 否 是 是 5分
3. 3. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 和椭圆x2 16 + y2 9 = 1 有相同的焦 点, 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍, 则双曲线的方程为 . 5分
4. 4. 已知函数f (x) = logax + x −b (a > 0, 且a̸ = 1). 当2 < a < 3 < b < 4 时, 函数f (x) 的零点x0 ∈(n, n + 1), n ∈N∗, 则n = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos A −2 cos C cos B = 2c −a b . (1) 求sin C sin A 的值; (2) 若cos B = 1 4, △ABC 的周长为5, 求b 的长. 691
2. 2. 甲、乙两校各有3 名教师报名支教, 其中甲校2 男1 女, 乙校1 男2 女. (1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选1 名, 写出所有可能的结果, 并求 选出的2 名教师性别相同的概率; (2) 若从报名的6 名教师中任选2 名, 写出所有可能的结果, 并求选出的2 名教师来自同一学校的概率.
3. 3. 如图, 在四棱台ABCD−A1B1C1D1 中, D1D ⊥平面ABCD, 底面ABCD 是平行四边形, AB = 2AD, AD = A1B1, ∠BAD = 60◦. (1) 证明: AA1 ⊥BD; (2) 证明: CC1 平面A1BD. A1 B1 C1 A B C D D1
4. 4. 等比数列{an} 中, a1, a2, a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且 a1, a2, a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若数列{bn} 满足: bn = an+(−1)n ln an, 求数列{bn} 的前2n 项和S2n.
5. 5. 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度, 长度单位: 米), 其中容器的中间 为圆柱形, 左右两端均为半球形, 按照设计要求容器的容积为80π 3 立方米, 且l ⩾2r. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每 平方米建造费用为3 千元, 半球形部分每平方米建造费用为c (c > 3) 千 元. 设该容器的建造费用为y 千元. (1) 写出y 关于r 的函数表达式, 并求该函数的定义域; (2) 求该容器的建造费用最小时的r. l r r r r r r
6. 6. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C: x2 3 + y2 = 1. 如图所示, 斜率为 k (k > 0) 且不过原点的直线l 交椭圆C 于A, B 两点, 线段AB 的中点 为E, 射线OE 交椭圆C 于点G, 交直线x = −3 于点D (−3, m). (1) 求m2 + k2 的最小值; (2) 若|OG|2 = |OD| · |OE|, ①求证: 直线l 过定点; ②试问点B, G 能否关于x 轴对称? 若能, 求出此时△ABG 的外接 圆方程; 若不能, 请说明理由. x y O A B E D −3 G l 692

原卷配图（含真实几何/应用题图示）