2011年山东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年山东（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合M = {x | x2 + x −6 < 0}, N = {x | 1 ⩽x ⩽3}, 则M ∩N =( ) 5分
   A. [1, 2) B. [1, 2] C. (2, 3] D. [2, 3]
2. 2. 复数z = 2 −i 2 + i (i 为虚数单位) 在复平面内对应的点所在的象限为 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 3. 若点(a, 9) 在函数y = 3x 的图象上, 则tan aπ 6 的值为 ( ) (B) √ 3 3 (D) √ 3 5分
   A. 0 C. 1
4. 4. 不等式|x −5| + |x + 3| ⩾10 的解集是 ( ) 5分
   A. [−5, 7] B. [−4, 6] C. (−∞, −5] ∪[7, +∞) D. (−∞, −4] ∪[6, +∞)
5. 5. 对于函数y = f (x) , x ∈R. “y = |f (x)| 的图象关于y 轴对称”是“y = f (x) 是奇函数”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 6. 若函数f (x) = sin ωx (ω > 0) 在区间 [ 0, π 3 ] 上单调递增, 在区间 [π 3 , π 2 ] 上单调递减, 则ω = ( ) 2 3 5分
   A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
7. 7. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表: 广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程ˆy = ˆbx + ˆa 中的ˆb 为9.4, 据此模型预报广告费用 为6 万元时销售额为 ( ) 5分
   A. 63.6 万元 B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元
8. 8. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的两条渐近线均和圆C: x2 +y2 − 6x + 5 = 0 相切, 且双曲线的右焦点为圆C 的圆心, 则该双曲线的方程 为 ( ) 5 −y2 4 = 1 (B) x2 4 −y2 5 = 1 3 −y2 6 = 1 6 −y2 3 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
9. 9. 函数y = x 2 −2 sin x 的图象大致是 ( ) (A) x 2π y 4 O (B) x 2π y 4 O (C) x 2π y 4 O (D) x 2π y 4 O 5分
10. 10. 已知f (x) 是R 上最小正周期为2 的周期函数, 且当0 ⩽x < 2 时, 个数为 ( ) 5分
    F. (x) = x3 −x, 则函数y = f (x) 的图象在区间[0, 6] 上与x 轴的交点的 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
11. 11. 如图是长和宽分别相等的两个矩形. 给定下列三个命题: ①存在三棱柱, 其正(主) 视图、俯视图如图; ②存在四棱柱, 其正(主) 视图、俯视图如 图; ③存在圆柱, 其正(主) 视图、俯视图如图. 其中真命题的个数是( ) 俯视图 正(主) 视图 5分
    A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
12. 12. 设A1, A2, A3, A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点, 若# » A1A3 = λ# » A1A2 (λ ∈R), # » A1A4 = µ# » A1A2 (µ ∈R), 且1 λ + 1 µ = 2, 则称A3, A4 调和分割 A1, A2. 已知平面上的点C, D 调和分割点A, B, 则下面说法正确的是( ) 5分
    A. C 可能是线段AB 的中点 B. D 可能是线段AB 的中点 C. C, D 可能同时在线段AB 上 D. C, D 不可能同时在线段AB 的延长线上

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 执行如图所示的程序框图, 输入l = 2, m = 3, n = 5, 则输出的y 的值 是 . 开始 输入非负整数l, m, n l2 + m2 + n2 = 0 y = 70l + 21m + 15n y > 105 y = 105 y = y −105 输出y 结束 否 否 是 是 5分
2. 2. 若 ( x − √a x2 )6 展开式的常数项为60, 则常数a 的值为 . 5分
3. 3. 设函数f (x) = x x + 2 (x > 0), 观察: f1 (x) = f (x) = x x + 2, f2 (x) = f (f1 (x)) = x 3x + 4, f3 (x) = f (f2 (x)) = x 7x + 8, f4 (x) = f (f3 (x)) = x 15x + 16, · · · 根据以上事实, 由归纳推理可得: 当n ∈N∗且n ⩾2 时, fn (x) = f (fn−1 (x)) = . 5分
4. 4. 已知函数f (x) = logax + x −b (a > 0, 且a̸ = 1). 当2 < a < 3 < b < 4 时, 函数f (x) 的零点x0 ∈(n, n + 1), n ∈N∗, 则n = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos A −2 cos C cos B = 2c −a b . (1) 求sin C sin A 的值; (2) 若cos B = 1 4, b = 2, 求△ABC 的面积S.
2. 2. 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C 进行围棋比赛, 甲对A、乙对 0.5, 假设各盘比赛结果相互独立. (1) 求红队至少两名队员获胜的概率; (2) 用ξ 表示红队队员获胜的总盘数, 求ξ 的分布列和数学期望Eξ. 689
3. 3. 在如图所示的几何体中, 四边形ABCD 为平行四边形, ∠ACB = 90◦, EA ⊥平面ABCD, EF AB, FG BC, EG AC, AB = 2EF. (1) 若M 是线段AD 的中点, 求证: GM 平面ABFE; (2) 若AC = BC = 2AE, 求二面角A −BF −C 的大小. E F G A B C D M
4. 4. 等比数列{an} 中, a1, a2, a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且 a1, a2, a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若数列{bn} 满足: bn = an + (−1)n ln an, 求数列{bn} 的前n 项和Sn.
5. 5. 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度, 长度单位: 米), 其中容器的中间 为圆柱形, 左右两端均为半球形, 按照设计要求容器的容积为80π 3 立方米, 且l ⩾2r. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每 平方米建造费用为3 千元, 半球形部分每平方米建造费用为c (c > 3) 千 元. 设该容器的建造费用为y 千元. (1) 写出y 关于r 的函数表达式, 并求该函数的定义域; (2) 求该容器的建造费用最小时的r. l r r r r r r
6. 6. 已知动直线l 与椭圆C: x2 3 + y2 2 = 1 交于P (x1, y1), Q (x2, y2) 两不同点, 且△OPQ 的面积S△OP Q = √ 6 2 , 其中O 为坐标原点. (1) 证明: x2 1 + x2 2 和y2 1 + y2 2 均为定值; (2) 设线段PQ 的中点为M, 求|OM| · |PQ| 的最大值; (3) 椭圆C 上是否存在三点D, E, G, 使得S△ODE = S△ODG = S△OEG = √ 6 2 ? 若存在, 判断△DEG 的形状; 若不存在, 请说明理由. 690

原卷配图（含真实几何/应用题图示）