2011年广东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年广东（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设复数z 满足iz = 1, 其中i 为虚数单位, 则z = ( ) 5分
   A. −i B. i C. −1 D. 1
2. 2. 已知集合A = {(x, y) | x, y 为实数, 且x2 + y2 = 1}, B = {(x, y) | x, y 为 实数, 且x + y = 1}, 则A ∩B 的元素个数为 ( ) 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3. 3. 已知向量a = (1, 2), b = (1, 0), c = (3, 4). 若λ 为实数, (a + λb) c, 则 λ = ( ) 4 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
4. 4. 函数f (x) = 1 1 −x + lg (1 + x) 的定义域是 ( ) 5分
   A. (−∞, −1) B. (1, +∞) C. (−1, 1) ∪(1, +∞) D. (−∞, +∞)
5. 5. 不等式2x2 −x −1 > 0 的解集是 ( ) (A) ( −1 2, 1 ) (D) ( −∞, −1 2 ) ∪(1, +∞) 5分
   B. (1, +∞) C. (−∞, 1) ∪(2, +∞)
6. 6. 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组        0 ⩽x ⩽ √ 2, y ⩽2, x ⩽ √ 2y 给定. 若M (x, y) 为D 上的动点, 点A 的坐标为 (√ 2, 1 ) , 则z = # » OM · # » OA 的 最大值为 ( ) √ 2 √ 2 5分
   A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
7. 7. 正五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的 对角线, 那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ( ) 5分
   A. 20 B. 15 C. 12 D. 10
8. 8. 设圆C 与圆x2 + (y −3)2 = 1 外切, 且与直线y = 0 相切, 则C 的圆心轨 迹为 ( ) 5分
   A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆
9. 9. 如图, 某几何体的正视图(主视图), 侧视图(左视图) 和俯视图分别是等边 三角形, 等腰三角形和菱形, 则该几何体的体积为 ( ) 2 2 2 √ 3 俯视图 正视图 侧视图 √ 3 √ 3 5分
   A. 4 B. 4 C. 2 D. 2
10. 10. 设f(x), g(x), h(x) 是R 上的任意实值函数. 如下定义两个函数(f ◦g)(x) 和(f • g)(x): 对任意x ∈R, (f ◦g)(x) = f(g(x)); (f • g)(x) = f(x)g(x), 则下列等式恒成立的是 ( ) 5分
    A. ((f ◦g) • h)(x) = ((f • h) ◦(g • h))(x) B. ((f • g) ◦h)(x) = ((f ◦h) • (g ◦h))(x) C. ((f ◦g) ◦h)(x) = ((f ◦h) ◦(g ◦h))(x) D. ((f • g) • h)(x) = ((f • h) • (g • h))(x)

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知{an} 是递增的等比数列, a2 = 2, a4 −a3 = 4, 则此数列的公比 q = . 5分
2. 2. 设函数f (x) = x3 cos x + 1. 若f (a) = 11, 则f (−a) = . 5分
3. 3. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系, 下表记录 了小李某月1 号到5 号每天打篮球时间x (单位: 小时) 与当天投篮命中 率y 之间的关系: 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5 天的平均投篮命中率为 ; 用线性回归分析的方法, 预测小 李该月6 号打6 小时篮球的投篮命中率为 . 5分
4. 4. 已知两曲线参数方程分别为 { x = √ 5 cos θ, y = sin θ, (0 ⩽θ < π) 和    x = 5 4t2, y = t, (t ∈R), 它们的交点坐标为 . 5分
5. 5. 如图, 在梯形ABCD 中, AB CD, AB = 4, CD = 2, E, F 分别为AD, BC 上的点, 且EF = 3, EF AB, 则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面 积比为 . A B D C F E 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = 2 sin (1 3x −π 6 ) , x ∈R. (1) 求f (0) 的值; (2) 设α, β ∈ [ 0, π 2 ] , f ( 3α + π 2 ) = 10 13, f (3β + 2π) = 6 5, 求sin (α + β) 的值.
2. 2. 在某次测验中, 有6 位同学的平均成绩为75 分. 用xn 表示编号为n (n = 1, 2, · · · , 6) 的同学所得成绩, 且前5 位同学的成绩如下: 编号n 1 2 3 4 5 成绩xn 70 76 72 70 72 (1) 求第6 位同学的成绩x6, 及这6 位同学成绩的标准差s; (2) 从前5 位同学中, 随机地选2 位同学, 求恰有1 位同学成绩在区间 (68, 75) 中的概率. 665
3. 3. 如图所示的几何体是将高为2, 底面半径为1 的直圆柱沿过轴的平面切开 后, 将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. A, A′, B, B′ 分别为¯ CD, ˘ C′D′, ¯ DE, ˘ D′E′ 的中点, O1, O′ 1, O2, O′ 2 分别为CD, C′D′, DE, D′E′ 的 中点. (1) 证明: O′ 1, A′, O2, B 四点共面; (2) 设G 为AA′ 中点, 延长A′O′ 1 到H′, 使得O′ 1H′ = A′O′ 1. 证明: BO′ 2 ⊥ 平面H′B′G. A G A′ H′ B′ B D C D′ C′ O2 O1 O′ 2 O′ 1 E E′
4. 4. 设a > 0, 讨论函数f (x) = ln x + a (1 −a) x2 −2 (1 −a) x 的单调性.
5. 5. 设b > 0, 数列{an} 满足a1 = b, an = nban−1 an−1 + n −1 (n ⩾2). (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 证明: 对于一切正整数n, 2an ⩽bn+1 + 1.
6. 6. 在平面直角坐标系xOy 中, 直线l: x = −2 交x 轴于点A. 设P 是l 上 一点, M 是线段OP 的垂直平分线上一点, 且满足∠MPO = ∠AOP. (1) 当点P 在l 上运动时, 求点M 的轨迹E 的方程; (2) 已知T (1, −1), 设H 是E 上动点, 求|HO| + |HT| 的最小值, 并给出 此时点H 的坐标; (3) 过点T (1, −1) 且不平行于y 轴的直线l1 与轨迹E 有且只有两个不同 的交点, 求直线l1 的斜率k 的取值范围. 666

原卷配图（含真实几何/应用题图示）