2011年广东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年广东（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设复数z 满足(1 + i) z = 2, 其中i 为虚数单位, 则z = ( ) 5分
   A. 1 + i B. 1 −i C. 2 + 2i D. 2 −2i
2. 2. 已知集合A = {(x, y) | x, y 为实数, 且x2 + y2 = 1}, B = {(x, y) | x, y 为 实数, 且y = x}, 则A ∩B 的元素个数为 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 3. 若非零向量a, b, c 满足a ( ) 5分
   B. 且a ⊥c, 则c · (a + 2b) = A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
4. 4. 设函数f (x) 和g (x) 分别是R 上的偶函数和奇函数, 则下列结论恒成立 的是 ( ) 5分
   A. f (x) + |g (x)| 是偶函数 B. f (x) −|g (x)| 是奇函数 C. |f (x)| + g (x) 是偶函数 D. |f (x)| −g (x) 是奇函数
5. 5. 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组        0 ⩽x ⩽ √ 2, y ⩽2, x ⩽ √ 2y 给定. 若M (x, y) 为D 上的动点, 点A 的坐标为 (√ 2, 1 ) , 则z = # » OM · # » OA 的 最大值为 ( ) √ 2 √ 2 5分
   A. 4 B. 3 C. 4 D. 3
6. 6. 甲、乙两队进行排球决赛. 现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军, 乙队 需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同, 则甲队获得冠军的 概率为 ( ) 2 5 3 4 5分
   A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
7. 7. 如图, 某几何体的正视图(主视图) 是平行四边形, 侧视图(左视图) 和俯视 图都是矩形, 则该几何体的体积为 ( ) 1 1 2 1 2 1 3 3 2 俯视图 正视图 侧视图 √ 3 √ 3 √ 3 √ 3 5分
   A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
8. 8. 设S 是整数集Z 的非空子集, 如果对于∀a, b ∈S, 有ab ∈S, 则称S 关于 数的乘法是封闭的. 若T, V 是Z 的两个不相交的非空子集, T ∪V = Z. 且对于∀a, b, c ∈T, 有abc ∈T, ∀x, y, z ∈V , 有xyz ∈V . 则下列结论恒 成立的是 ( ) 5分
   A. T, V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T, V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T, V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T, V 中每一个关于乘法都是封闭的

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 不等式|x + 1| −|x −3| ⩾0 的解集是 . 5分
2. 2. x ( x −2 x )7 的展开式中, x4 的系数是 . (用数字作答) 5分
3. 3. 等差数列{an} 前9 项的和等于前4 项的和. 若a1 = 1, ak + a4 = 0, 则 k = . 5分
4. 4. 函数f (x) = x3 −3x2 + 1 在x = 处取得极小值. 5分
5. 5. 某数学老师身高176 cm, 他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm, 170 cm 和182 cm. 因儿子的身高与父亲的身高有关, 该老师用线性回归分析的方 法预测他孙子的身高为 cm. 5分
6. 6. 已知两曲线参数方程分别为 { x = √ 5 cos θ, y = sin θ, (0 ⩽θ < π) 和    x = 5 4t2, y = t, (t ∈R), 它们的交点坐标为 . 5分
7. 7. 如图, 过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A, B, 且PB = 7, . A B C O P • 5分
   C. 是圆上一点, 使得BC = 5, ∠BAC = ∠APB, 则AB =

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = 2 sin (1 3x −π 6 ) , x ∈R. (1) 求f (5π 4 ) 的值; (2) 设α, β ∈ [ 0, π 2 ] , f ( 3α + π 2 ) = 10 13, f (3β + 2π) = 6 5, 求cos (α + β) 的值.
2. 2. 为了解甲、乙两厂的产品质量, 采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的 产品中分别抽取14 件和5 件, 测量产品中微量元素x, y 的含量(单位: 毫 克). 下表是乙厂的5 件产品的测量数据: 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 (1) 已知甲厂生产的产品共有98 件, 求乙厂生产的产品数量; (2) 当产品中的微量元素x, y 满足x ⩾175 且y ⩾75 时, 该产品为优等 品. 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3) 从乙厂抽出的上述5 件产品中, 随机抽取2 件, 求抽取的2 件产品中 优等品数ξ 的分布列及其均值(即数学期望).
3. 3. 如图, 在锥体P −ABCD 中, ABCD 是边长为1 的菱形, 且∠DAB = 60◦, PA = PD = √ 2, PB = 2, E, F 分别是BC, PC 的中点. (1) 证明: AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P −AD −B 的余弦值. A E F B C D P 663
4. 4. 设圆C 与两圆 ( x + √ 5 )2 + y2 = 4, ( x − √ 5 )2 + y2 = 4 中的一个内切, 另 一个外切. (1) 求C 的圆心轨迹L 的方程. (2) 已知点M ( 3 √ 5 5 , 4 √ 5 5 ) , F (√ 5, 0 ) , 且P 为L 上动点, 求 ||MP| −|FP|| 的最大值及此时点P 的坐标.
5. 5. 设b > 0, 数列{an} 满足a1 = b, an = nban−1 an−1 + 2n −2 (n ⩾2). (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 证明: 对于一切正整数n, an ⩽bn+1 2n+1 + 1.
6. 6. 在平面直角坐标系xOy 上, 给定抛物线L: y = 1 4x2. 实数p, q 满 足p2 −4q ⩾0, x1, x2 是方程x2 −px + q = 0 的两根, 记φ (p, q) = max {|x1| , |x2|}. (1) 过点A ( p0, 1 4p2 0 ) (p0̸ = 0) 作L 的切线交y 轴于点B. 证明: 对线段 AB 上的任一点Q (p, q), 有φ (p, q) = |p0| 2 ; (2) 设M (a, b) 是定点, 其中a, b 满足a2 −4b > 0, a̸ = 0. 过点M (a, b) 作L 的两条切线l1, l2, 切点分别为E ( p1, 1 4p2 1 ) , E′ ( p2, 1 4p2 2 ) , l1, l2 与y 分别交于F, F ′. 线段EF 上异于两端点的点集记为X. 证明: M (a, b) ∈X ⇔|p1| > |p2| ⇔φ (a, b) = |p1| 2 ; (3) 设D = { (x, y)  y ⩽x −1, y ⩾1 4(x + 1)2 −5 4 } , 当点(p, q) 取遍D 时, 求φ (p, q) 的最小值(记为φmin) 和最大值(记为φmax). 664

原卷配图（含真实几何/应用题图示）