2011年新课标卷（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年新课标卷（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合M = {0, 1, 2, 3, 4}, N = {1, 3, 5}, P = M ∩N, 则P 的子集 共有 ( ) 5分
   A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个
2. 2. 复数 5i 1 −2i = ( ) 5分
   A. 2 −i B. 1 −2i C. −2 + i D. −1 + 2i
3. 3. 下列函数中, 既是偶函数又在(0, +∞) 单调递增的函数是 ( ) 5分
   A. y = x3 B. y = |x| + 1 C. y = −x2 + 1 D. y = 2−|x|
4. 4. 椭圆x2 16 + y2 8 = 1 的离心率为 ( ) 3 2 (C) √ 3 3 (D) √ 2 2 5分
   A. 1 B. 1
5. 5. 执行如图的程序框图, 如果输入的N 是6, 那么输出的p 是 ( ) 开始 输入N k = 1, p = 1 p = p · k k < N k = k + 1 输出p 结束 否 是 5分
   A. 120 B. 720 C. 1440 D. 5040
6. 6. 有3 个兴趣小组, 甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同学参加各 个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( ) 3 2 3 4 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
7. 7. 已知角θ 的顶点与原点重合, 始边与x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y = 2x 上, 则cos 2θ = ( ) 5 5 5 5 5分
   A. −4 B. −3 C. 3 D. 4
8. 8. 在一个几何体的三视图中, 正视图和俯视图如下图所示, 则相应的侧视图 可以为 ( ) 俯视图 正视图 (A) (B) (C) (D) 5分
9. 9. 已知直线l 过抛物线C 的焦点, 且与C 的对称轴垂直, l 与C 交于A, B 两点, |AB| = 12, P 为C 的准线上一点, 则△ABP 的面积为 ( ) 5分
   A. 18 B. 24 C. 36 D. 48
10. 10. 在下列区间中, 函数f (x) = ex + 4x −3 的零点所在的区间为 ( ) (A) ( −1 4, 0 ) (B) ( 0, 1 4 ) (C) (1 4, 1 2 ) (D) (1 2, 3 4 ) 5分
11. 11. 设函数f (x) = sin ( 2x + π 4 ) + cos ( 2x + π 4 ) , 则 ( ) ( 0, π 2 ) 单调递增, 其图象关于直线x = π 4 对称 ( 0, π 2 ) 单调递增, 其图象关于直线x = π 2 对称 ( 0, π 2 ) 单调递减, 其图象关于直线x = π 4 对称 ( 0, π 2 ) 单调递减, 其图象关于直线x = π 2 对称 5分
    A. y = f (x) 在 B. y = f (x) 在 C. y = f (x) 在 D. y = f (x) 在
12. 12. 已知函数y = f (x) 的周期为2, 当x ∈[−1, 1] 时f (x) = x2, 那么函数 y = f (x) 的图象与函数y = | lg x| 的图象的交点共有 ( ) 5分
    A. 10 个 B. 9 个 C. 8 个 D. 1 个

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知a 与b 为两个不共线的单位向量, k 为实数, 若向量a + b 与向量 ka −b 垂直, 则k = . 5分
2. 2. 若变量x, y 满足约束条件 { 3 ⩽2x + y ⩽9, 6 ⩽x −y ⩽9, 则z = x + 2y 的最小值 为 . 5分
3. 3. △ABC 中, B = 120◦, AC = 7, AB = 5, 则△ABC 的面积为 . 5分
4. 4. 已知两个圆锥有公共底面, 且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面 上. 若圆锥底面面积是这个球面面积的3 16, 则这两个圆锥中, 体积较小者 的高与体积较大者的高的比值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 已知等比数列{an} 中, a1 = 1 3, 公比q = 1 3. (1) 若Sn 为{an} 的前n 项和, 证明: Sn = 1 −an 2 ; (2) 设bn = log3 a1 + log3 a2 + · · · + log3 an, 求数列{bn} 的通项公式.
2. 2. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形, ∠DAB = 60◦, AB = 2AD, PD ⊥底面ABCD. (1) 证明: PA ⊥BD; (2) 设PD = AD = 1, 求棱锥D −PBC 的高. A B D C P 687
3. 3. 某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标值越大表明质量越好, 且 质量指标值大于或等于102 的产品为优质品. 现用两种新配方(分别称为 的质量指标值, 得到了下面试验结果: 指标值分组 [90, 94) [94, 98) [98, 102) [102, 106) [106, 110] 频数 8 20 42 22 8 指标值分组 [90, 94) [94, 98) [98, 102) [102, 106) [106, 110] 频数 4 12 42 32 10 (1) 分别估计用A 配方, B 配方生产的产品的优质品率; (2) 已知用B 配方生产一件产品的利润y (单位: 元) 与其质量指标值t 的关系式为y =        −2, t < 94, 2, 94 ⩽t < 102, 4, t ⩾102. 估计用B 配方生产的一件产品的 利润大于0 的概率, 并求用B 配方生产的上述100 件产品平均一件的利润.
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 曲线y = x2 −6x + 1 与坐标轴的交点都在圆 (1) 求圆C 的方程; (2) 若圆C 与直线x −y + a = 0 交于A, B 两点, 且OA ⊥OB, 求a 的 值.
5. 5. 已知函数f (x) = a ln x x + 1 + b x, 曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程 为x + 2y −3 = 0. (1) 求a, b 的值; (2) 证明: 当x > 0, 且x̸ = 1 时, f (x) > ln x x −1.
6. 6. 如图, D, E 分别为△ABC 的边AB, AC 上的点, 且不与△ABC 的顶点 重合. 已知AE 的长为m, AC 的长为n, AD, AB 的长是关于x 的方程 x2 −14x + mn = 0 的两个根. (1) 证明: C, B, D, E 四点共圆; (2) 若∠A = 90◦, 且m = 4, n = 6, 求C, B, D, E 所在圆的半径. A B D C E • •
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为 { x = 2 cos α, y = 2 + 2 sin α, (α 为参 数), M 是C1 上的动点, P 点满足# » OP = 2# » OM, P 点的轨迹为曲线C2. (1) 求C2 的方程; (2) 在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线θ = π 3 与C1 的异于极点的交点为A, 与C2 的异于极点的交点为B, 求|AB|.
8. 8. 设函数f(x) = |x −a| + 3x, 其中a > 0. (1) 当a = 1 时, 求不等式f(x) ⩾3x + 2 的解集; (2) 若不等式f(x) ⩽0 的解集为{x | x ⩽−1}, 求a 的值. 688

原卷配图（含真实几何/应用题图示）