2011年新课标卷（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年新课标卷（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数2 + i 1 −2i 的共轭复数是 ( ) 5i 5i 5分
   A. −3 B. 3 C. −i D. i
2. 2. 下列函数中, 既是偶函数又在(0, +∞) 单调递增的函数是 ( ) 5分
   A. y = x3 B. y = |x| + 1 C. y = −x2 + 1 D. y = 2−|x|
3. 3. 执行如图的程序框图, 如果输入的N 是6, 那么输出的p 是 ( ) 开始 输入N k = 1, p = 1 p = p · k k < N k = k + 1 输出p 结束 否 是 5分
   A. 120 B. 720 C. 1440 D. 5040
4. 4. 有3 个兴趣小组, 甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同学参加各 个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( ) 3 2 3 4 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
5. 5. 已知角θ 的顶点与原点重合, 始边与x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y = 2x 上, 则cos 2θ = ( ) 5 5 5 5 5分
   A. −4 B. −3 C. 3 D. 4
6. 6. 在一个几何体的三视图中, 正视图和俯视图如下图所示, 则相应的侧视图 可以为 ( ) 俯视图 正视图 (A) (B) (C) (D) 5分
7. 7. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点, 且与C 的一条对称轴垂直, l 与C 交于 A, B 两点, |AB| 为C 的实轴长的2 倍, 则C 的离心率为 ( ) (A) √ 2 (B) √ 3 5分
   C. 2 D. 3
8. 8. ( x + a x ) ( 2x −1 x )5 的展开式中各项系数的和为2, 则该展开式中常数项 为 ( ) 5分
   A. −40 B. −20 C. 20 D. 40
9. 9. 由曲线y = √x, 直线y = x −2 及y 轴所围成的图形的面积为 ( ) 3 3 5分
   A. 10 B. 4 C. 16 D. 6
10. 10. 已知a 与b 均为单位向量, 其夹角为θ, 有下列四个命题: p1: |a + b| > 1 ⇔θ ∈ [ 0, 2π 3 ) p2: |a + b| > 1 ⇔θ ∈ (2π 3 , π ] p3: |a −b| > 1 ⇔θ ∈ [ 0, π 3 ) p4: |a −b| > 1 ⇔θ ∈ (π 3 , π ] 其中的真命题是 ( ) 5分
    A. p1, p4 B. p1, p3 C. p2, p3 D. p2, p4
11. 11. 设函数f (x) = sin (ωx + φ) + cos (ωx + φ) ( ω > 0, |φ| < π 2 ) 的最小正周 期为π, 且f (−x) = f (x), 则 ( ) ( 0, π 2 ) 单调递减 (π 4 , 3π 4 ) 单调递减 ( 0, π 2 ) 单调递增 (π 4 , 3π 4 ) 单调递增 5分
    A. f (x) 在 B. f (x) 在 C. f (x) 在 D. f (x) 在
12. 12. 函数y = 1 1 −x 的图象与函数y = 2 sin πx (−2 ⩽x ⩽4) 的图象所有交点 的横坐标之和等于 ( ) 5分
    A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若变量x, y 满足约束条件 { 3 ⩽2x + y ⩽9, 6 ⩽x −y ⩽9, 则z = x + 2y 的最小值 为 . 5分
2. 2. 在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆C 的中心为原点, 焦点F1、F2 在x 轴上, 离心率为 √ 2 2 , 过F1 的直线l 交C 于A、B 两点, 且△ABF2 的周长为 16, 那么C 的方程为 . 5分
3. 3. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4 的球O 的球面上, 且AB = 6, BC = 2 √ 3, 则棱锥O −ABCD 的体积为 . 5分
4. 4. 在△ABC 中, B = 60◦, AC = √ 3, 则AB + 2BC 的最大值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 等比数列{an} 的各项均为正数, 且2a1 + 3a2 = 1, a2 3 = 9a2a6. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设bn = log3a1 + log3a2 + · · · + log3an, 求数列 { 1 bn } 的前n 项和.
2. 2. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形, ∠DAB = 60◦, AB = 2AD, PD ⊥底面ABCD. (1) 证明: PA ⊥BD; (2) 若PD = AD, 求二面角A −PB −C 的余弦值. A B D C P 685
3. 3. 某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标值越大表明质量越好, 且 质量指标值大于或等于102 的产品为优质品. 现用两种新配方(分别称为 的质量指标值, 得到了下面试验结果: 指标值分组 [90, 94) [94, 98) [98, 102) [102, 106) [106, 110] 频数 8 20 42 22 8 指标值分组 [90, 94) [94, 98) [98, 102) [102, 106) [106, 110] 频数 4 12 42 32 10 (1) 分别估计用A 配方, B 配方生产的产品的优质品率; (2) 已知用B 配方生产一件产品的利润y (单位: 元) 与其质量指标值t 的 关系式为y =        −2, t < 94, 2, 94 ⩽t < 102, 4, t ⩾102. 从用B 配方生产的产品中任取一件, 其利润记为X (单位: 元), 求X 的分布列及数学期望. (以实验结果中质 量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知点A (0, −1), B 点在直线y = −3 上, M 点满足# » MB # » OA, # » MA · # » AB = # » MB · # » BA, M 点的轨迹为曲线C. (1) 求C 的方程; (2) P 为C 上的动点, l 为C 在P 点处的切线, 求O 点到l 距离的最小值.
5. 5. 已知函数f (x) = a ln x x + 1 + b x, 曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程 为x + 2y −3 = 0. (1) 求a, b 的值; (2) 如果当x > 0, 且x̸ = 1 时, f (x) > ln x x −1 + k x, 求k 的取值范围.
6. 6. 如图, D, E 分别为△ABC 的边AB, AC 上的点, 且不与△ABC 的顶点 重合. 已知AE 的长为m, AC 的长为n, AD, AB 的长是关于x 的方程 x2 −14x + mn = 0 的两个根. (1) 证明: C, B, D, E 四点共圆; (2) 若∠A = 90◦, 且m = 4, n = 6, 求C, B, D, E 所在圆的半径. A B D C E • •
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为 { x = 2 cos α, y = 2 + 2 sin α, (α 为参 数), M 是C1 上的动点, P 点满足# » OP = 2# » OM, P 点的轨迹为曲线C2. (1) 求C2 的方程; (2) 在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线θ = π 3 与C1 的异于极点的交点为A, 与C2 的异于极点的交点为B, 求|AB|.
8. 8. 设函数f(x) = |x −a| + 3x, 其中a > 0. (1) 当a = 1 时, 求不等式f(x) ⩾3x + 2 的解集; (2) 若不等式f(x) ⩽0 的解集为{x | x ⩽−1}, 求a 的值. 686

原卷配图（含真实几何/应用题图示）