2011年江苏

本卷为官方高考数学真题（2011年江苏），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知a, b 是实数, 函数f (x) = x3 + ax, g (x) = x2 + bx, f ′ (x) 和g′ (x) 分别是f (x), g (x) 的导函数, 若f ′ (x) g′ (x) ⩾0 在区间I 上恒成立, 则称 (1) 设a > 0, 若函数f (x) 和g (x) 在区间[−1, +∞) 上单调性一致, 求实 数b 的取值范围; (2) 设a < 0 且a̸ = b, 若f (x) 和g (x) 在以a, b 为端点的开区间上单调 性一致, 求|a −b| 的最大值.
2. 2. 设M 为部分正整数组成的集合, 数列{an} 的首项a1 = 1, 前n 项和为 Sn, 已知对任意整数k ∈M, 当整数n > k 时, Sn+k + Sn−k = 2 (Sn + Sk) 都成立. (1) 设M = {1}, a2 = 2, 求a5 的值; (2) 设M = {3, 4}, 求数列{an} 的通项公式.
3. 3. 四选二. 【A】如图, 圆O1 与圆O2 内切于点A, 其半径分别为r1 与r2 (r1 > r2), 圆 O1 的弦AB 交圆O2 于点C (O1 不在AB 上), 求证: AB : AC 为定值. O1O2 A B C • • 【B】已知矩阵A = [ 1 1 2 1 ] , 向量β = [ 1 2 ] , 求向量α, 使得A2α = β. 【C】在平面直角坐标系xOy 中, 求过椭圆 { x = 5 cos φ, y = 3 sin φ, (φ 为参数) 的右 焦点, 且与直线 { x = 4 −2t, y = 3 −t, (t 为参数) 平行的直线的普通方程. 【D】解不等式: x + |2x −1| < 3.
4. 4. 如图, 在正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 = 2, AB = 1, 点N 是 BC 的中点, 点M 在CC1 上. 设二面角A1 −DN −M 的大小为θ. (1) 当θ = 90◦时, 求AM 的长; (2) 当cos θ = √ 6 6 时, 求CM 的长. A1 B1 C1 A B C M N D D1
5. 5. 设整数n ⩾4, P (a, b) 是平面直角坐标系xOy 中的点, 其中a, b ∈{1, 2, 3, · · · , n}, a > b. (1) 记An 为满足a −b = 3 的点P 的个数, 求An; (2) 记Bn 为满足1 3 (a −b) 是整数的点P 的个数, 求Bn. 676

原卷配图（含真实几何/应用题图示）