2011年江西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年江西（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若(x −i) i = y + 2i, x, y ∈R, 则复数x + yi = ( ) 5分
   A. −2 + i B. 2 + i C. 1 −2i D. 1 + 2i
2. 2. 若全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M = {2, 3}, N = {1, 4}, 则集合{5, 6} 等于 ( ) (C) ( ∁UM ) ∪ ( ∁UN ) (D) ( ∁UM ) ∩ ( ∁UN ) 5分
   A. M ∪N B. M ∩N
3. 3. 若f (x) = 1 log 1 2 (2x + 1), 则f (x) 的定义域为 ( ) (A) ( −1 2, 0 ) (B) ( −1 2, +∞ ) (C) ( −1 2, 0 ) ∪(0, +∞) (D) ( −1 2, 2 ) 5分
4. 4. 曲线y = ex 在点A (0, 1) 处的切线斜率为 ( ) e 5分
   A. 1 B. 2 C. e D. 1
5. 5. 设{an} 为等差数列, 公差d = −2, Sn 为其前n 项和. 若S10 = S11, 则 a1 = ( ) 5分
   A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
6. 6. 观察下列各式: 72 = 49, 73 = 343, 74 = 2401, · · · , 则72011 的末两位数字 为 ( ) 5分
   A. 01 B. 43 C. 07 D. 49
7. 7. 为了普及环保知识, 增强环保意识, 某大学随机抽取30 名学生参加环保知 识测试, 得分(〸分制) 如图所示, 假设得分值的中位数为me, 众数为mo, 平均值为x, 则 ( ) 频数 0 得分 10 6 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5分
   A. me = mo = x (B) me = mo < x (C) me < mo < x (D) mo < me < x
8. 8. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系, 随机抽取5 对父子的身高数据如下: 父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm) 175 175 176 177 177 则y 对x 的线性回归方程为 ( ) 2x 5分
   A. y = x −1 B. y = x + 1 C. y = 88 + 1 D. y = 176
9. 9. 将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示, 则该几何体的左视图 为 ( ) 左视 (A) (B) (C) (D) 5分
10. 10. 如图, 一个“凸轮”放置于直角坐标系x 轴上方, 其“底端”落在原点O 处, 一 顶点及中心M 在y 轴正半轴上, 它的外围由以正三角形的顶点为圆心, 以 正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 今使“凸轮”沿x 轴正向滚动前进, 在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”, 其中心也在不断移动位 置, 则在“凸轮”滚动一周的过程中, 将其“最高点”和“中心点”所形成的图形 按上、下放置, 应大致为 ( ) O x M• (A) (B) (C) (D) 5分

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知两个单位向量e1, e2 的夹角为π 3 , 若向量b1 = e1−2e2, b2 = 3e1+4e2, 则b1 · b2 = . 5分
2. 2. 若双曲线y2 16 −x2 m = 1 的离心率e = 2, 则m = . 5分
3. 3. 下图是某算法程序框图, 则程序运行后输出的结果是 . 开始 s = 0, n = 1 s = (s + n)n n = n + 1 s > 3 输出s 结束 是 否 5分
4. 4. 已知角θ 的顶点为坐标原点, 始边为x 轴的正半轴. 若P (4, y) 是角θ 终 边上一点, 且sin θ = −2 √ 5 5 , 则y = . 5分
5. 5. 对于x ∈R, 不等式|x + 10| −|x −2| ⩾8 的解集为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别. 公司准备了两种不 同的饮料共5 杯, 其颜色完全相同, 并且其中3 杯为A 饮料, 另外2 杯为 该员工3 杯都选对, 则评为优秀; 若3 杯选对2 杯, 则评为良好; 否则评为 及格. 假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力. (1) 求此人被评为优秀的概率; (2) 求此人被评为良好及以上的概率.
2. 2. 在△ABC 中, A、B、C 的对边分别是a、b、c, 已知3a cos A = c cos B + (1) 求cos A 的值; (2) 若a = 1, cos B + cos C = 2 √ 3 3 , 求边c 的值. 679
3. 3. 如图, 在△ABC 中, ∠B = π 2 , AB = BC = 2, P 为AB 边上一动点, PD BC 交AC 于点D, 现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA′, 使平面 PDA′ ⊥平面PBCD. (1) 当棱锥A′ −PBCD 的体积最大时, 求PA 的长; (2) 若点P 为AB 的中点, E 为A′C 的中点, 求证: A′B ⊥DE. A A′ C E P B D
4. 4. 已知过抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点, 斜率为2 √ 2 的直线交抛物线于 (1) 求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点, 若# » OC = # » OA + λ# » OB, 求λ 的值.
5. 5. 设f (x) = 1 3x3 + mx2 + nx. (1) 如果g (x) = f ′ (x) −2x −3 在x = −2 处取得最小值−5, 求f (x) 的 解析式; (2) 如果m + n < 10 (m, n ∈N+), f (x) 的单调递减区间的长度是正整 数, 试求m 和n 的值. (注: 区间(a, b) 的长度为b −a)
6. 6. (1) 已知两个等比数列{an}, {bn}, 满足a1 = a (a > 0), b1 −a1 = 1, b2 −a2 = 2, b3 −a3 = 3, 若数列{an} 唯一, 求a 的值; (2) 是否存在两个等比数列{an}, {bn}, 使得b1 −a1, b2 −a2, b3 −a3, b4 −a4 成公差不为0 的等差数列? 若存在, 求{an}, {bn} 的通项公式; 若不存在, 说明理由. 680

原卷配图（含真实几何/应用题图示）