2011年江西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年江西（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若z = 1 + 2i i , 则复数z = ( ) 5分
   A. −2 −i B. −2 + i C. 2 −i D. 2 + i
2. 2. 若集合A = {x | −1 ⩽2x + 1 ⩽3}, B = { x  x −2 x ⩽0 } , 则A∩B =( ) 5分
   A. {x | −1 ⩽x < 0} B. {x | 0 < x ⩽1} C. {x | 0 ⩽x ⩽2} D. {x | 0 ⩽x ⩽1}
3. 3. 若f (x) = 1 √ log 1 2 (2x + 1) , 则f (x) 定义域为 ( ) (A) ( −1 2, 0 ) (B) ( −1 2, 0 ] (C) ( −1 2, +∞ ) 5分
   D. (0, +∞)
4. 4. 若f (x) = x2 −2x −4 ln x, 则f ′ (x) > 0 的解集为 ( ) 5分
   A. (0, +∞) B. (−1, 0) ∪(2, +∞) C. (2, +∞) D. (−1, 0)
5. 5. 已知数列{an} 的前n 项和Sn 满足: Sn + Sm = Sn+m, 且a1 = 1, 那么 a10 = ( ) 5分
   A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
6. 6. 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10, 1), (11.3, 2), (11.8, 3), (12.5, 4), (13, 5); 变量U 与V 相对应的一组数据为(10, 5), (11.3, 4), (11.8, 3), (12.5, 2), (13, 1). r1 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数, r2 表示变 量V 与U 之间的线性相关系数, 则 ( ) 5分
   A. r2 < r1 < 0 B. 0 < r2 < r1 C. r2 < 0 < r1 D. r2 = r1
7. 7. 观察下列各式: 55 = 3125, 56 = 15625, 57 = 78125, · · · , 则52011 的末四位 数字为 ( ) 5分
   A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 8125
8. 8. 已知α1, α2, α3 是三个相互平行的平面, 平面α1, α2 之间的距离为d1, 平 面α2, α3 之间的距离为d2. 直线l 与α1, α2, α3 分别交于P1, P2, P3. 那 么“P1P2 = P2P3”是“d1 = d2”的 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 9. 若曲线C1: x2 + y2 −2x = 0 与曲线C2: y (y −mx −m) = 0 有四个不同 的交点, 则实数m 的取值范围是 ( ) (A) ( − √ 3 3 , √ 3 3 ) (B) ( − √ 3 3 , 0 ) ∪ ( 0, √ 3 3 ) (C) [ − √ 3 3 , √ 3 3 ] (D) ( −∞, − √ 3 3 ) ∪ (√ 3 3 , +∞ ) 5分
10. 10. 如图, 一个直径为1 的小圆沿着直径为2 的大圆内壁逆时针方向滚动, M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点. 那么, 当小圆这样滚过大圆内壁 一周, 点M, N 在大圆内所绘出的图形大致是 ( ) N M (A) (B) (C) (D) 5分

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知|a| = |b| = 2, (a + 2b) · (a −b) = −2, 则a 与b 的夹角为 . 5分
2. 2. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动, 他随机地往单位圆内投掷一点, 若 此点到圆心的距离大于1 2, 则周末去看电影; 若此点到圆心的距离小于1 4, 则去打篮球; 否则, 在家看书. 则小波周末不在家看书的概率为 . 5分
3. 3. 下图是某算法程序框图, 则程序运行后输出的结果是 . 开始 s = 0, n = 1 s = s + (−1)n + n n = n + 1 s > 9 输出s 结束 是 否 5分
4. 4. 若椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 的焦点在x 轴上, 过点 ( 1, 1 2 ) 作圆x2 + y2 = 1 的切 线, 切点分别为A, B, 直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, 则椭圆 方程是 . 5分
5. 5. 二选一. 【A】若曲线的极坐标方程为ρ = 2 sin θ + 4 cos θ, 以极点为原点, 极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系, 则该曲线的直角坐标方程为 . 【B】对于实数x, y, 若|x −1| ⩽1, |y −2| ⩽1, 则|x −2y + 1| 的最大值 为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某饮料公司招聘一名员工, 现对其进行一项测试, 以便确定工资级别. 公司 准备了两种不同的饮料共8 杯, 其颜色完全相同, 并且其中4 杯为A 饮料, 另外4 杯为B 饮料, 公司要求此员工一一品尝后, 从8 杯饮料中选出4 杯 资定为2800 元; 否则月工资定为2100 元. 令X 表示此人选对A 饮料的 杯数. 假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力. (1) 求X 的分布列; (2) 求此员工月工资的期望.
2. 2. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别是a, b, c, 已知sin C + cos C = 1 −sin C 2 . (1) 求sin C 的值; (2) 若a2 + b2 = 4 (a + b) −8, 求边c 的值.
3. 3. 已知两个等比数列{an}, {bn}, 满足a1 = a (a > 0), b1−a1 = 1, b2−a2 = 2, b3 −a3 = 3. (1) 若a = 1, 求数列{an} 的通项公式; (2) 若数列{an} 唯一, 求a 的值. 677
4. 4. 设f (x) = −1 3x3 + 1 2x2 + 2ax. (1) 若f (x) 在 (2 3, +∞ ) 上存在单调递增区间, 求a 的取值范围; (2) 当0 < a < 2 时, f (x) 在[1, 4] 上的最小值为−16 3 , 求f (x) 在该区间 上的最大值.
5. 5. P (x0, y0) (x0̸ = ±a) 是双曲线E: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 上一点, M, N 分别是双曲线E 的左、右顶点, 直线PM, PN 的斜率之积为1 5. (1) 求双曲线的离心率; (2) 过双曲线E 的右焦点且斜率为1 的直线交双曲线于A, B 两点, O 为 坐标原点, C 为双曲线上的一点, 满足# » OC = λ# » OA + # » OB, 求λ 的值.
6. 6. (1) 如图, 对于任一给定的四面体A1A2A3A4, 找出依次排列的四个相互平 行的平面α1, α2, α3, α4, 使得Ai ∈αi (i = 1, 2, 3, 4), 且其中每相邻两个 平面间的距离都相等; (2) 给定依次排列的四个相互平行的平面α1, α2, α3, α4, 其中每相邻两个平 面间的距离都为1, 若一个正四面体A1A2A3A4 的四个顶点满足: Ai ∈αi (i = 1, 2, 3, 4), 求该正四面体A1A2A3A4 的体积. A2 A3 A1 A4 678

原卷配图（含真实几何/应用题图示）