2011年浙江（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年浙江（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若P = {x | x < 1}, Q = {x | x > −1}, 则 ( ) 5分
   A. P ⊆Q B. Q ⊆P C. ∁RP ⊆Q D. Q ⊆∁RP
2. 2. 若复数z = 1 + i, i 为虚数单位, 则(1 + z) · z = ( ) 5分
   A. 1 + 3i B. 3 + 3i C. 3 −i D. 3
3. 3. 若实数x, y 满足不等式组        x + 2y −5 ⩾0, 2x + y −7 ⩾0, x ⩾0, y ⩾0, 则3x + 4y 的最小值是( ) 5分
   A. 13 B. 15 C. 20 D. 28
4. 4. 若直线l 不平行于平面α, 且l̸ ⊂α, 则 ( ) 5分
   A. α 内的所有直线与l 异面 B. α 内不存在与l 平行的直线 C. α 内存在唯一的直线与l 平行 D. α 内的直线与l 都相交
5. 5. 在△ABC  中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 若a cos A = b sin B, 则sin A cos A + cos2B = ( ) 2 2 5分
   A. −1 B. 1 C. −1 D. 1
6. 6. 若a, b 为实数, 则“0 < ab < 1”是“b < 1 a”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 若某几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的直观图可以是 ( ) 俯视图 正视图 侧视图 (A) (B) (C) (D) 5分
8. 8. 从装有3 个红球、2 个白球的袋中任取3 个球, 则所取的3 个球中至少有 1 个白球的概率是 ( ) 10 10 5 10 5分
   A. 1 B. 3 C. 3 D. 9
9. 9. 已知椭圆C1: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 与双曲线C2: x2 −y2 4 = 1 有公 共的焦点, C2 的一条渐近线与以C1 的长轴为直径的圆相交于A, B 两点. 若C1 恰好将线段AB 三等分, 则 ( ) 2 2 5分
   A. a2 = 13 B. a2 = 13 C. b2 = 1 D. b2 = 2
10. 10. 设函数f (x) = ax2 + bx + c (a, b, c ∈R). 若x = −1 为函数y = f (x) ex 的一个极值点, 则下列图象不可能为y = f (x) 图象的是 ( ) (A) x −1 y O (B) x −1 y O (C) x −1 y O (D) x −1 y O 5分

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 设函数f (x) = 4 1 −x. 若f (a) = 2, 则实数a = . 5分
2. 2. 若直线x−2y+5 = 0 与直线2x+my−6 = 0 互相垂直, 则实数m = . 5分
3. 3. 某小学为了解学生数学课程的学习情况, 在3000 名学生中随机抽取200 名, 并统计这200 名学生的某次数学考试成绩, 得到了样本的频率分布直 方图(如图). 根据频率分布直方图, 3000 名学生在该次数学考试中成绩小 于60 分的学生数是 . 频率 组距 0 成绩/分 0.002 0.006 0.012 0.024 0.028 0.020 0.008 30 40 50 60 70 80 90 100 5分
4. 4. 某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的k 的值是 . 开始 k = 2 k = k + 1 输出k 结束 是 否 5分
   A. = 4k B. = k4 A. > b?
5. 5. 若平面向量α、β 满足|α| = 1, |β| ⩽1, 且以向量α、β 为邻边的平行四 边形的面积为1 2, 则α 和β 的夹角θ 的取值范围是 . 5分
6. 6. 若实数x, y 满足x2 + y2 + xy = 1, 则x + y 的最大值是 . 5分
7. 7. 若数列 { n (n + 4) (2 3 )n} 中的最大项是第k 项, 则k = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知函数f (x) = A sin (π 3 x + φ ) , x ∈R, A > 0, 0 < φ < π 2 . y = f (x) 的部分图象如图所示, P, Q 分别为该图象的最高点和最低点, 点P 的坐标 为(1, A). (1) 求f (x) 的最小正周期及φ 的值; (2) 若点R 的坐标为(1, 0), ∠PRQ = 2π 3 , 求A 的值. R x P Q y O 711
2. 2. 已知公差不为0 的等差数列{an} 的首项a1 为a (a ∈R), 且1 a1 , 1 a2 , 1 a4 成等比数列. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 对n ∈N∗, 试比较1 a2 + 1 a22 + 1 a23 + · · · + 1 a2n 与1 a1 的大小.
3. 3. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, AB = AC, D 为BC 的中点, PO ⊥平面 ABC, 垂足O 落在线段AD 上. (1) 证明: AP ⊥BC; (2) 已知BC = 8, PO = 4, AO = 3, OD = 2. 求二面角B −AP −C 的 大小. A O C P B D
4. 4. 设函数f (x) = a2 ln x −x2 + ax, a > 0. (1) 求f (x) 的单调区间; (2) 求所有实数a, 使e −1 ⩽f (x) ⩽e2 对x ∈[1, e] 恒成立. 注: e 为自然对数的底数.
5. 5. 如图, 设P 为抛物线C1: x2 = y 上的动点, 过点P 做圆C2: x2+(y + 3)2 = 1 的两条切线, 交直线l: y = −3 于A, B 两点. (1) 求C2 的圆心M 到抛物线C1 准线的距离. (2) 是否存在点P, 使线段AB 被抛物线C1 在点P 处的切线平分, 若存 在, 求出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由. x y O P l A B M 712

原卷配图（含真实几何/应用题图示）