2011年浙江（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年浙江（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设函数f (x) = { −x, x ⩽0, x2, x > 0. 若f (α) = 4, 则实数α = ( ) 5分
   A. −4 或−2 B. −4 或2 C. −2 或4 D. −2 或2
2. 2. 把复数z 的共轭复数记作z, i 为虚数单位, 若z = 1+i, 则(1 + z)·z =( ) 5分
   A. 3 −i B. 3 + i C. 1 + 3i D. 3
3. 3. 若某几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的直观图可以是 ( ) 俯视图 正视图 侧视图 (A) (B) (C) (D) 5分
4. 4. 下列命题中错误的是 ( ) 面β 5分
   A. 如果平面α ⊥平面β, 那么平面α 内一定存在直线平行于平面β B. 如果平面α 不垂直于平面β, 那么平面α 内一定不存在直线垂直于平 C. 如果平面α ⊥平面γ, 平面β ⊥平面γ, α ∩β = l, 那么l ⊥平面γ D. 如果平面α ⊥平面β, 那么平面α 内所有直线都垂直于平面β
5. 5. 设实数x, y 满足不等式组        x + 2y −5 > 0, 2x + y −7 > 0, x ⩾0, y ⩾0. 若x, y 为整数, 则3x + 4y 的最小值是 ( ) 5分
   A. 14 B. 16 C. 17 D. 19
6. 6. 若0 < α < π 2 , −π 2 < β < 0, cos (π 4 + α ) = 1 3, cos (π 4 −β 2 ) = √ 3 3 , 则 cos ( α + β 2 ) = ( ) (A) √ 3 3 √ 3 3 √ 3 9 √ 6 9 5分
   B. − C. 5 D. −
7. 7. 若a, b 为实数, 则“0 < ab < 1”是“a < 1 a”的 ( ) 5分
   B. 或b > 1 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 8. 已知椭圆C1: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 与双曲线C2: x2 −y2 4 = 1 有公 共的焦点, C2 的一条渐近线与以C1 的长轴为直径的圆相交于A, B 两点. 若C1 恰好将线段AB 三等分, 则 ( ) 2 2 5分
   A. a2 = 13 B. a2 = 13 C. b2 = 1 D. b2 = 2
9. 9. 有5 本不同的书, 其中语文书2 本, 数学书2 本, 物理书1 本. 若将其 随机地抽取并排摆放在书架的同一层上, 则同一科目的书都不相邻的概率 为 ( ) 5 5 5 5 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 10. 设a, b, c 为实数, f (x) = (x+a)(x2+bx+c), g (x) = (ax+1)(cx2+bx+1). 记集合S = {x | f (x) = 0, x ∈R}, T = {x | g (x) = 0, x ∈R}, 若|S|, |T| 分别为集合S, T 的元素个数, 则下列结论不可能的是 ( ) 5分
    A. |S| = 1 且|T| = 0 B. |S| = 1 且|T| = 1 C. |S| = 2 且|T| = 2 D. |S| = 2 且|T| = 3

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 若函数f (x) = x2 −|x + a| 为偶函数, 则实数a = . 5分
2. 2. 某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的k 的值是 . 开始 k = 2 k = k + 1 输出k 结束 是 否 5分
   A. = 4k B. = k4 A. > b?
3. 3. 设二项式 ( x −a √x )6 若B = 4A, 则a 的值是 . 5分
   A. > 0) 的展开式中x3 的系数为A, 常数项为B.
4. 4. 若平面向量α、β 满足|α| = 1, |β| ⩽1, 且以向量α、β 为邻边的平行四 边形的面积为1 2, 则α 和β 的夹角θ 的取值范围是 . 5分
5. 5. 某毕业生参加人才招聘会, 分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历, 假 定该毕业生得到甲公司面试的概率为2 3, 得到乙、丙公司面试的概率均为p, 且三个公司是否让其面试是相互独立的. 记X 为该毕业生得到面试的公 司个数. 若P (X = 0) = 1 12, 则随机变量X 的数学期望E (X) = . 5分
6. 6. 设x, y 为实数, 若4x2 + y2 + xy = 1, 则2x + y 的最大值是 . 5分
7. 7. 设F1, F2 分别为椭圆x2 3 + y2 = 1 的焦点, 点A, B 在椭圆上. 若 # » F1A = 5# » F2B, 则点A 的坐标是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知sin A + sin C = p sin B (p ∈R), 且ac = 1 4b2. (1) 当p = 5 4, b = 1 时, 求a, c 的值; (2) 若角B 为锐角, 求p 的取值范围.
2. 2. 已知公差不为0 的等差数列{an} 的首项a1 为a (a ∈R). 设数列的前n 项和为Sn, 且1 a1 , 1 a2 , 1 a4 成等比数列. (1) 求数列{an} 的通项公式及Sn; (2) 记An = 1 S1 + 1 S2 + 1 S3 + · · · + 1 Sn , Bn = 1 a1 + 1 a2 + 1 a22 + · · · + 1 a2n−1 . 当n ⩾2 时, 试比较An 与Bn 的大小. 709
3. 3. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, AB = AC, D 为BC 的中点, PO ⊥平面 ABC, 垂足O 落在线段AD 上, 已知BC = 8, PO = 4, AO = 3, OD = 2. (1) 证明: AP ⊥BC; (2) 在线段AP 上是否存在点M, 使得二面角A −MC −B 为直二面角? 若存在, 求出AM 的长; 若不存在, 请说明理由. A O C P B D
4. 4. 已知抛物线C1: x2 = y, 圆C2: x2 + (y −4)2 = 1 的圆心为点M. (1) 求点M 到抛物线C1 的准线的距离; (2) 已知点P 是抛物线C1 上一点(异于原点), 过点P 作圆C2 的两条切 线, 交抛物线C1 于A, B 两点, 若过M, P 两点的直线l 垂直于AB, 求 直线l 的方程. x y O P l A B M
5. 5. 设函数f (x) = (x −a)2 ln x, a ∈R. (1) 若x = e 为y = f (x) 的极值点, 求实数a; (2) 求实数a 的取值范围, 使得对任意的x ∈(0, 3e], 恒有f (x) ⩽4e2 成 立. 注: e 为自然对数的底数. 710

原卷配图（含真实几何/应用题图示）