2011年湖北（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年湖北（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 5}, 则 ∁U (A ∪B) = ( ) 5分
   A. {6, 8} B. {5, 7} C. {4, 6, 7} D. {1, 3, 5, 6, 8}
2. 2. 若向量a = (1, 2), b = (1, −1), 则2a + b 与a −b 的夹角等于 ( ) 4 6 4 4 5分
   A. −π B. π C. π D. 3π
3. 3. 若定义在R 上的偶函数f (x) 和奇函数g (x) 满足f (x) + g (x) = ex, 则 ( ) 2 (ex + e−x) 2 (e−x −ex) 2 (ex −e−x) 5分
   G. (x) = A. ex −e−x B. 1 C. 1 D. 1
4. 4. 将两个顶点在抛物线y2 = 2px (p > 0) 上, 另一个顶点是此抛物线焦点的 正三角形个数记为n, 则 ( ) 5分
   A. n = 0 B. n = 1 C. n = 2 D. n ⩾3
5. 5. 有一个容量为200 的样本, 其频率分布直方图如图所示, 根据样本的频率 分布直方图估计, 样本数据落在区间[10, 12) 内的频数为 ( ) 频率 组距 0 样本数据 0.02 0.05 0.15 0.19 2 4 6 8 10 12 5分
   A. 18 B. 36 C. 54 D. 72
6. 6. 已知函数f (x) = √ 3 sin x −cos x, x ∈R. 若f (x) ⩾1, 则x 的取值范围 为 ( ) (A) { x  2kπ + π 3 ⩽x ⩽2kπ + π, k ∈Z } (B) { x  kπ + π 3 ⩽x ⩽kπ + π, k ∈Z } (C) { x  2kπ + π 6 ⩽x ⩽2kπ + 5π 6 , k ∈Z } (D) { x  kπ + π 6 ⩽x ⩽kπ + 5π 6 , k ∈Z } 5分
7. 7. 设球的体积为V1, 它的内接正方体的体积为V2, 下列说法中最合适的 是 ( ) 5分
   A. V1 比V2 大约多一半 B. V1 比V2 大约多两倍半 C. V1 比V2 大约多一倍 D. V1 比V2 大约多一倍半
8. 8. 直线2x + y −10 = 0 与不等式组              x ⩾0, y ⩾0, x −y ⩾−2, 4x + 3y ⩽20 表示的平面区域的公共 点有 ( ) 5分
   A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 无数个
9. 9. 《九章算术》“竹九节”问题: 现有一根9 节的竹子, 自上而下各节的容积成 等差数列, 上面4 节的容积共3 升, 下面3 节的容积共4 升, 则第5 节的 容积为 ( ) 66 升 44 升 33 升 5分
   A. 1 升 B. 67 C. 47 D. 37
10. 10. 若实数a, b 满足a ⩾0, b ⩾0, 且ab = 0, 则称a 与b 互补. 记 φ (a, b) = √ a2 + b2 −a −b, 那么φ (a, b) = 0 是a 与b 互补的 ( ) 5分
    A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 某市有大型超市200 家、中型超市400 家、小型超市1400 家. 为掌握各 类超市的营业情况, 现按分层抽样方法抽取一个容量为100 的样本, 应抽 取中型超市 家. 5分
2. 2. ( x − 1 3√x )18 的展开式中含x15 的项的系数为 . (结果用数值表示) 5分
3. 3. 在30 瓶饮料中, 有3 瓶已过了保质期. 从这30 瓶饮料中任取2 瓶, 则至 少取到1 瓶已过保质期饮料的概率为 . (结果用最简分数表示) 5分
4. 4. 过点(−1, −2) 的直线l 被圆x2 + y2 −2x −2y + 1 = 0 截得的弦长为 √ 2, 则直线l 的斜率为 . 5分
5. 5. 里氏震级M 的计算公式为: M = lg A −lg A0, 其中A 是测震仪记录的地 震曲线的最大振幅, A0 是相应的标准地震的振幅. 假设在一次地震中, 测 震仪记录的最大振幅是1000, 此时标准地震的振幅为0.001, 则此次地震的 震级为 级; 9 级地震的最大的振幅是5 级地震最大振幅的 倍. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知a = 1, b = 2, cos C = 1 4. (1) 求△ABC 的周长; (2) 求cos (A −C) 的值.
2. 2. 成等差数列的三个正数的和等于15, 并且这三个数分别加上2, 5, 13 后成 为等比数列{bn} 中的b3, b4, b5. (1) 求数列{bn} 的通项公式; (2) 数列{bn} 的前n 项和为Sn, 求证: 数列 { Sn + 5 4 } 是等比数列.
3. 3. 如图, 已知正三棱柱ABC −A1B1C1 的底面边长为2, 侧棱长为3 √ 2, 点 √ 2, BF = √ 2. (1) 求证: CF ⊥C1E; (2) 求二面角E −CF −C1 的大小. A E F C B A1 C1 B1 669
4. 4. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下, 大桥上的车流速度v (单位: 千米/小时) 是车流密度x (单位: 辆/千米) 的 函数. 当桥上的车流密度达到200 辆/千米时, 造成堵塞, 此时车流速度为 0; 当车流密度不超过20 辆/千米时, 车流速度为60 千米/小时. 研究表明: 当20 ⩽x ⩽200 时, 车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (1) 当0 ⩽x ⩽200 时, 求函数v (x) 的表达式; (2) 当车流密度x 为多大时, 车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆 数, 单位: 辆/小时)f (x) = x · v (x) 可以达到最大, 并求出最大值. (精确到 1 辆/小时)
5. 5. 设函数f (x) = x3 + 2ax2 + bx + a, g (x) = x2 −3x + 2, 其中x ∈R, a, b 为常数, 已知曲线y = f (x) 与y = g (x) 在点(2, 0) 处有相同的切线l. (1) 求a, b 的值, 并写出切线l 的方程; (2) 若方程f (x) + g (x) = mx 有三个互不相同的实根0, x1, x2, 其中 x1 < x2, 且对任意的x ∈[x1, x2], f (x) + g (x) < m (x −1) 恒成立, 求实 数m 的取值范围.
6. 6. 平面内与两定点A1 (−a, 0), A2 (a, 0) (a > 0) 连线的斜率之积等于非零常 数m 的点的轨迹, 加上A1, A2 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲 线. (1) 求曲线C 的方程, 并讨论C 的形状与m 值的关系; (2) 当m = −1 时, 对应的曲线为C1; 对给定的m ∈(−1, 0) ∪(0, +∞), 对 应的曲线为C2. 设F1, F2 是C2 的两个焦点. 试问: 在C1 上, 是否存在点 N, 使得△F1NF2 的面积S = |m|a2? 若存在, 求tan ∠F1NF2 的值; 若不 存在, 请说明理由. 670

原卷配图（含真实几何/应用题图示）