2011年湖北（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年湖北（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. i 为虚数单位, 则 (1 + i 1 −i )2011 = ( ) 5分
   A. −i B. −1 C. i D. 1
2. 2. 已知U = {y | y = log2x, x > 1}, P = { y  y = 1 x, x > 2 } , 则∁UP=( ) (A) [1 2, +∞ ) (B) ( 0, 1 2 ) [1 2, +∞ ) 5分
   C. (0, +∞) D. (−∞, 0) ∪
3. 3. 已知函数f (x) = √ 3 sin x −cos x, x ∈R. 若f (x) ⩾1, 则x 的取值范围 为 ( ) (A) { x  kπ + π 3 ⩽x ⩽kπ + π, k ∈Z } (B) { x  2kπ + π 3 ⩽x ⩽2kπ + π, k ∈Z } (C) { x  kπ + π 6 ⩽x ⩽kπ + 5π 6 , k ∈Z } (D) { x  2kπ + π 6 ⩽x ⩽2kπ + 5π 6 , k ∈Z } 5分
4. 4. 将两个顶点在抛物线y2 = 2px (p > 0) 上, 另一个顶点是此抛物线焦点的 正三角形个数记为n, 则 ( ) 5分
   A. n = 0 B. n = 1 C. n = 2 D. n ⩾3
5. 5. 已知随机变量ξ 服从正态分布N (2, σ2), 且P (ξ < 4) = 0.8, 则 P (0 < ξ < 2) = ( ) 5分
   A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
6. 6. 已知定义在R 上的奇函数f (x) 和偶函数g (x) 满足f (x) + g (x) = ax −a−x + 2 (a > 0, 且a̸ = 1). 若g (2) = a, 则f (2) = ( ) 4 4 5分
   A. 2 B. 15 C. 17 D. a2
7. 7. 如图, 用K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统. 当K 正常工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时, 系统正常工作. 已知K、A1、A2 正常工 作的概率依次为0.9、0.8、0.8, 则系统正常工作的概率为 ( ) K A1 A2 5分
   A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576
8. 8. 已知向量a = (x + z, 3), b = (2, y −z), 且a ⊥b. 若x, y 满足不等式 |x| + |y| ⩽1, 则z 的取值范围为 ( ) 5分
   A. [−2, 2] B. [−2, 3] C. [−3, 2] D. [−3, 3]
9. 9. 若实数a, b 满足a ⩾0, b ⩾0, 且ab = 0, 则称a 与b 互补. 记 φ (a, b) = √ a2 + b2 −a −b, 那么φ (a, b) = 0 是a 与b 互补的 ( ) 5分
   A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 10. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素, 其含量不断减 少, 这种现象称为衰变. 假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中, 其含量 M (单位: 太贝克) 与时间t (单位: 年) 满足函数关系: M (t) = M02−t 30 , 其中M0 为t = 0 时铯137 的含量. 已知t = 30 时, 铯137 含量的变化率 是−10 ln 2 (太贝克/年), 则M (60) = ( ) 5分
    A. 5 太贝克 B. 75 ln 2 太贝克 C. 150 ln 2 太贝克 D. 150 太贝克

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. ( x − 1 3√x )18 的展开式中含x15 的项的系数为 . (结果用数值表示) 5分
2. 2. 在30 瓶饮料中, 有3 瓶已过了保质期. 从这30 瓶饮料中任取2 瓶, 则至 少取到1 瓶已过保质期饮料的概率为 . (结果用最简分数表示) 5分
3. 3. 《九章算术》“竹九节”问题: 现有一根9 节的竹子, 自上而下各节的容积成 等差数列, 上面4 节的容积共3 升, 下面3 节的容积共4 升, 则第5 节的 容积为 升. 5分
4. 4. 如图, 直角坐标系xOy 所在的平面为α, 直角坐标系x′Oy′ (其中y′ 轴与 y 轴重合) 所在的平面为β, ∠xOx′ = 45◦. • y(y′) x x′ α β P ′ O C′ (1) 已知平面β 内有一点P ′ ( 2 √ 2, 2 ) , 则点P ′ 在平面α 内的射影P 的坐 标为 . (2) 已知平面β 内的曲线C′ 的方程是 ( x′ − √ 2 )2 + 2y′2 −2 = 0, 则曲线 C′ 在平面α 内的射影C 的方程是 . 5分
5. 5. 给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当n ⩽4 时, 在所有不同的 着色方案中, 黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示: n = 4 n = 3 n = 2 n = 1 由此推断, 当n = 6 时, 黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种, 至 少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种. (结果用数值表示) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知a = 1, b = 2, cos C = 1 4. (1) 求△ABC 的周长; (2) 求cos (A −C) 的值.
2. 2. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下, 大桥上的车流速度v (单位: 千米/小时) 是车流密度x (单位: 辆/千米) 的 函数. 当桥上的车流密度达到200 辆/千米时, 造成堵塞, 此时车流速度为 0; 当车流密度不超过20 辆/千米时, 车流速度为60 千米/小时. 研究表明: 当20 ⩽x ⩽200 时, 车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (1) 当0 ⩽x ⩽200 时, 求函数v (x) 的表达式; (2) 当车流密度x 为多大时, 车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆 数, 单位: 辆/小时)f (x) = x · v (x) 可以达到最大, 并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) 667
3. 3. 如图, 已知正三棱柱ABC −A1B1C1 的各棱长都是4, E 是BC 的中点, 动点F 在侧棱CC1 上, 且不与点C 重合. (1) 当CF = 1 时, 求证: EF ⊥A1C; (2) 设二面角C −AF −E 的大小为θ, 求tan θ 的最小值. A E C B A1 C1 B1
4. 4. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn, 且满足a1 = a (a̸ = 0), an+1 = rSn (n ∈N∗, r ∈R, r̸ = −1). (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若存在k ∈N∗, 使得Sk+1, Sk, Sk+2 成等差数列, 试判断: 对于任意的 m ∈N∗, 且m ⩾2, am+1, am, am+2 是否成等差数列, 并证明你的结论.
5. 5. 平面内与两定点A1 (−a, 0), A2 (a, 0) (a > 0) 连线的斜率之积等于非零常 数m 的点的轨迹, 加上A1, A2 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲 线. (1) 求曲线C 的方程, 并讨论C 的形状与m 值的关系; (2) 当m = −1 时, 对应的曲线为C1; 对给定的m ∈(−1, 0) ∪(0, +∞), 对 应的曲线为C2. 设F1, F2 是C2 的两个焦点. 试问: 在C1 上, 是否存在点 N, 使得△F1NF2 的面积S = |m|a2? 若存在, 求tan ∠F1NF2 的值; 若不 存在, 请说明理由.
6. 6. (1) 已知函数f (x) = ln x −x + 1, x ∈(0, +∞), 求函数f (x) 的最大值; (2) 设ak, bk (k = 1, 2, · · · , n) 均为正数, 证明: ①若a1b1 + a2b2 + · · · + anbn ⩽b1 + b2 + · · · + bn, 则ab1 1 ab2 2 · · · abn n ⩽1; ②若b1 + b2 + · · · + bn = 1, 则1 n ⩽bb1 1 bb2 2 · · · bbn n ⩽b2 1 + b2 2 + · · · + b2 n. 668

原卷配图（含真实几何/应用题图示）