2011年湖南（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年湖南（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设全集U = M ∪N = {1, 2, 3, 4, 5}, M ∩∁UN = {2, 4}, 则N = ( ) 5分
   A. {1, 2, 3} B. {1, 3, 5} C. {1, 4, 5} D. {2, 3, 4}
2. 2. 若a, b ∈R, i 为虚数单位, 且(a + i) i = b + i, 则 ( ) 5分
   A. a = 1, b = 1 B. a = −1, b = 1 C. a = 1, b = −1 D. a = −1, b = −1
3. 3. “x > 1”是“|x| > 1”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 4. 如图是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为 ( ) 俯视图 正视图 侧视图 2 3 3 2π + 12 2π + 18 5分
   A. 9π + 42 B. 36π + 18 C. 9 D. 9
5. 5. 通过随机询问110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动, 得到如下的列 联表: 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由K2 = n(ad −bc)2 K2 = 110 × (40 × 30 −20 × 20)2 60 × 50 × 60 × 50 ≈7.8. 附表: P (K2 ⩾k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 5分
   A. + b) (c + d) (a + c) (b + d) 算得,
6. 6. 635 10.828 参照附表, 得到的正确结论是 ( ) 关” 关” 6. 设双曲线x2 a2 −y2 9 = 1 (a > 0) 的渐近线方程为3x ± 2y = 0, 则a 的值 为 ( ) 5分
   A. 有99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下, 认为“爱好该项运动与性别有 D. 在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下, 认为“爱好该项运动与性别无 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 7. 曲线y = sin x sin x + cos x −1 2 在点M (π 4 , 0 ) 处的切线的斜率为 ( ) 2 2 √ 2 2 (D) √ 2 2 5分
   A. −1 B. 1 C. −
8. 8. 已知函数f (x) = ex −1, g (x) = −x2 + 4x −3, 若有f (a) = g (b), 则b 的 取值范围为 ( ) (A) [ 2 − √ 2, 2 + √ 2 ] (B) ( 2 − √ 2, 2 + √ 2 ) 5分
   C. [1, 3] D. (1, 3)

填空题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为 { x = 2 cos α, y = √ 3 sin α, (α 为参数), 在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位, 且以原点O 为极点, 以x 轴正半轴为极轴) 中, 曲线C2 的方程为ρ (cos θ −sin θ) + 1 = 0, 则 C1 与C2 的交点个数为 . 5分
2. 2. 已知某试验范围为[10, 90], 若用分数法进行4 次优选试验, 则第二次试点 可以是 . 5分
3. 3. 若执行如图所示的框图, 输入x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4 = 8, 则输出的数 等于 . 开始 输入x1, x2, x3, x4 i = 1, x = 0 x = x + xi i = i + 1 i < 4? x = x 4 输出x 结束 否 是 5分
4. 4. 已知f (x) 为奇函数, g (x) = f (x) + 9, g (−2) = 3, 则f (2) = . 5分
5. 5. 设向量a, b 满足|a| = 2 √ 5, b = (2, 1), 且a 与b 的方向相反, 则a 的坐 标为 . 5分
6. 6. 设m > 1, 在约束条件        y ⩾x, y ⩽mx, x + y ⩽1 下, 目标函数z = x + 5y 的最大值为 4, 则m 的值为 . 5分
7. 7. 已知圆C: x2 + y2 = 12, 直线l : 4x + 3y = 25. (1) 圆C 的圆心到直线l 的距离为 ; (2) 圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2 的概率为 . 5分
8. 8. 给定k ∈N∗, 设函数f: N∗→N∗满足: 对于任意大于k 的正整数n, (1) 设k = 1, 则其中一个函数f 在n = 1 处的函数值为 ; (2) 设k = 4, 且当n ⩽4 时, 2 ⩽f (n) ⩽3, 则不同的函数f 的个数 为 . 5分
   F. (n) = n −k.

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 且满足c sin A = a cos C. (1) 求角C 的大小; (2) 求 √ 3 sin A −cos ( 4 ) 的最大值, 并求取得最大值时角A, B 的大 小. 673
2. 2. 某河流上的一座水力发电站, 每年六月份的发电量Y (单位: 万千瓦时) 与 该河上游在六月份的降雨量X (单位: 毫米) 有关, 据统计, 当X = 70 时, Y = 460; X 每增加10, Y 增加5. 已知近20 年X 的值为: 140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. (1) 完成如下的频率分布表: 近20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 1 20 4 20 2 20 (2) 假定今年六月份的降雨量与近20 年六月份降雨量的分布规律相同, 并 将频率视为概率, 求今年六月份该水力发电站的发电量低于490 (万千瓦 时) 或超过530 (万千瓦时) 的概率.
3. 3. 如图, 在圆锥PO 中, 已知PO = √ 2, ⊙O 的直径AB = 2, 点C 在˜ AB 上, 且∠CAB = 30◦, D 为AC 的中点. (1) 证明: AC ⊥平面POD; (2) 求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值. A B O P C D
4. 4. 某企业在第1 年初购买一台价值为120 万元的设备M, M 的价值在使用 过程中逐年减少. 从第2 年到第6 年, 每年初M 的价值比上年初减少10 万元; 从第7 年开始, 每年初M 的价值为上年初的75%. (1) 求第n 年初M 的价值an 的表达式; (2) 设An = a1 + a2 + · · · + an n , 若An 大于80 万元, 则M 继续使用, 否 则须在第n 年初对M 更新. 证明: 须在第9 年初对M 更新.
5. 5. 已知平面内一动点P 到点F (1, 0) 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于 1. (1) 求动点P 的轨迹C 的方程; (2) 过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l1, l2, 设l1 与轨迹C 相交 于点A, B, l2 与轨迹C 相交于点D, E, 求# » AD · # » EB 的最小值.
6. 6. 设函数f (x) = x −1 x −a ln x (a ∈R). (1) 讨论函数f (x) 的单调性. (2) 若f (x) 有两个极值点x1 和x2, 记过点A (x1, f (x1)) ,B (x2, f (x2)) 的 直线斜率为k. 问: 是否存在a, 使得k = 2 −a? 若存在, 求出a 的值; 若 不存在, 请说明理由. 674

原卷配图（含真实几何/应用题图示）