2011年湖南（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年湖南（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 若a, b ∈R, i 为虚数单位, 且(a + i) i = b + i, 则 ( ) 5分
   A. a = 1, b = 1 B. a = −1, b = 1 C. a = −1, b = −1 D. a = 1, b = −1
2. 2. 设M = {1, 2}, N = {a2}, 则“a = 1”是“N ⊆M”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 3. 如图是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为 ( ) 俯视图 正视图 侧视图 2 3 3 2π + 12 2π + 18 5分
   A. 9 B. 9 C. 9π + 42 D. 36π + 18
4. 4. 通过随机询问110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动, 得到如下的列 联表: 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由K2 = n(ad −bc)2 K2 = 110 × (40 × 30 −20 × 20)2 60 × 50 × 60 × 50 ≈7.8. 附表: P (K2 ⩾k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表, 得到的正确结论是 ( ) 关” 关” 5分
   A. + b) (c + d) (a + c) (b + d) 算得, A. 在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下, 认为“爱好该项运动与性别有 B. 在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下, 认为“爱好该项运动与性别无 C. 有99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D. 有99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
5. 5. 设双曲线x2 a2 −y2 9 = 1 (a > 0) 的渐近线方程为3x ± 2y = 0, 则a 的值 为 ( ) 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 6. 由直线x = −π 3 , x = π 3 , y = 0 与曲线y = cos x 所围成的封闭图形的面积 为 ( ) 2 (C) √ 3 2 (D) √ 3 5分
   A. 1 B. 1
7. 7. 设m > 1, 在约束条件        y ⩾x, y ⩽mx, x + y ⩽1 下, 目标函数z = x + my 的最大值小 于2, 则m 的取值范围为 ( ) (A) ( 1, 1 + √ 2 ) (B) ( 1 + √ 2, +∞ ) 5分
   C. (1, 3) D. (3, +∞)
8. 8. 设直线x = t 与函数f (x) = x2, g (x) = ln x 的图象分别交于点M, N, 则 当|MN| 达到最小时t 的值为 ( ) 2 (C) √ 5 2 (D) √ 2 2 5分
   A. 1 B. 1

填空题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为 { x = cos α, y = 1 + sin α, (α 为参数), 在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位, 且以原点O 为极点, 以x 轴正半轴为极轴) 中, 曲线C2 的方程为ρ (cos θ −sin θ) + 1 = 0, 则 C1 与C2 的交点个数为 . 5分
2. 2. 设x, y ∈R, 且xy̸ = 0, 则 ( x2 + 1 y2 ) ( 1 x2 + 4y2 ) 的最小值为 . 5分
3. 3. 如图, A、E 是半圆周上的两个三等分点, 直径BC = 4, AD ⊥BC, 垂足 为D, BE 与AD 相交于点F, 则AF 的长为 . A O B C D E F • 5分
4. 4. 设Sn 是等差数列{an} (n ∈N∗) 的前n 项和, 且a1 = 1, a4 = 7, 则 S5 = . 5分
5. 5. 若执行如图所示的框图, 输入x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x = 2, 则输出的数 等于 . 开始 输入x1, x2, x3, x i = 1, S = 0 S = S + (xi −x)2 i = i + 1 i < 3? S = 1 i S 输出S 结束 否 是 5分
6. 6. 在边长为1 的正三角形ABC 中, 设# » BC = 2# » BD, # » CA = 3# » CE, 则 # » AD · # » BE = . 5分
7. 7. 如图所示, EFGH 是以O 为圆心, 半径为1 的圆的内接正方形, 将一颗豆 子随机地扔到该圆内, 用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”, B 表 示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分) 内”, 则(1) P (A) = ; (2) P (B|A) = . O H E G F 5分
8. 8. 对于n ∈N∗, 将n 表示为n = a0 ×2k +a1 ×2k−1 +a2 ×2k−2 +· · ·+ak−1 × 21 + ak × 20. 当i = 0 时, ai = 1, 当1 ⩽i ⩽k 时, ai 为0 或1. 记I (n) 为 上述表示中ai 为0 的个数(例如: 1 = 1 × 20, 4 = 1 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20, 则I (1) = 0, I (4) = 2), 则(1) I (12) = ; (2) 127 ∑ n=1 2I(n) = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 且满足c sin A = a cos C. (1) 求角C 的大小; (2) 求 √ 3 sin A −cos ( 4 ) 的最大值, 并求取得最大值时角A, B 的大 小. 671
2. 2. 某商店试销某种商品20 天, 获得如下数据: 日销售量(件) 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变), 设某天开始营业时 有该商品3 件, 当天营业结束后检查存货, 若发现存货少于2 件, 则当天进 货补充至3 件, 否则不进货, 将频率视为概率. (1) 求当天商品不进货的概率; (2) 记X 为第二天开始营业时该商品的件数, 求X 的分布列和数学期望.
3. 3. 如图, 在圆锥PO 中, 已知PO = √ 2, ⊙O 的直径AB = 2, C 是˜ AB 的中 点, D 为AC 的中点. (1) 证明: 平面POD ⊥平面PAC; (2) 求二面角B −PA −C 的余弦值. A B O P C D
4. 4. 如图, 长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S) 的垂直方向作匀速移动, 速 度为v (v > 0), 雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R). E 移动时单位 时间内的淋雨量包括两部分: ①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨) 的淋 雨量, 假设其值与|v −c| × S 成正比, 比例系数为1 10; ②其它面的淋雨量 之和, 其值为1 2, 记y 为E 移动过程中的总淋雨量, 当移动距离d = 100, 面积S = 3 2 时. (1) 写出y 的表达式; (2) 设0 < v ⩽10, 0 < c ⩽5, 试根据c 的不同取值范围, 确定移动速度v, 使总淋雨量y 最少. E v P
5. 5. 如图, 椭圆C1: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 3 2 , x 轴被曲线C2: y = x2 −b 截得的线段长等于C1 的长半轴长. (1) 求C1, C2 的方程; (2) 设C2 与y 轴的交点为M, 过坐标原点O 的直线l 与C2 相交于点A, B, 直线MA, MB 分别与C1 相交与点D, E. ①证明: MD ⊥ME; ②记△MAB, △MDE 的面积分别是S1, S2. 问: 是否存在直线l, 使 得S1 S2 = 17 32? 请说明理由. x y O D A B E M
6. 6. 已知函数f (x) = x3, g (x) = x + √x. (1) 求函数h (x) = f (x) −g (x) 的零点个数, 并说明理由; (2) 设数列{an} (n ∈N∗) 满足a1 = a (a > 0), f (an+1) = g (an), 证明: 存在常数M, 使得对于任意的n ∈N∗, 都有an ⩽M. 672

原卷配图（含真实几何/应用题图示）