2011年福建（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年福建（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若集合M = {−1, 0, 1}, N = {0, 1, 2}, 则M ∩N 等于 ( ) 5分
   A. {0, 1} B. {−1, 0, 1} C. {0, 1, 2} D. {−1, 0, 1, 2}
2. 2. i 是虚数单位, 1 + i3 等于 ( ) 5分
   A. i B. −i C. 1 + i D. 1 −i
3. 3. 若a ∈R, 则“a = 1”是“|a| = 1”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 某校选修乒乓球课程的学生中, 高一年级有30 名, 高二年级有40 名. 现用 分层抽样的方法在这70 名学生中抽取一个样本, 已知在高一年级的学生 中抽取了6 名, 则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( ) 5分
   A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5. 5. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的结果是 ( ) 开始 输出a 结束 否 是 5分
   A. = 1 A. = a2 + 2 A. < 10? A. 3 B. 11 C. 38 D. 123
6. 6. 若关于x 的方程x2 + mx + 1 = 0 有两个不相等的实数根, 则实数m 的取 值范围是 ( ) 5分
   A. (−1, 1) B. (−2, 2) C. (−∞, −2) ∪(2, +∞) D. (−∞, −1) ∪(1, +∞)
7. 7. 如图, 矩形ABCD 中, 点E 为边CD 的中点, 若在矩形ABCD 内部随机 取一个点Q, 则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 ( ) A C B D E 4 3 2 3 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
8. 8. 已知函数f (x) = { 2x, x > 0, x + 1, x ⩽0, 若f (a) + f (1) = 0, 则实数a 的值等 于 ( ) 5分
   A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
9. 9. 若α ∈ ( 0, π 2 ) , 且sin2α + cos 2α = 1 4, 则tan α 的值等于 ( ) (A) √ 2 2 (B) √ 3 3 (C) √ 2 (D) √ 3 5分
10. 10. 若a > 0, b > 0, 且函数f (x) = 4x3 −ax2 −2bx + 2 在x = 1 处有极值, 则ab 的最大值等于 ( ) 5分
    A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
11. 11. 设圆锥曲线Γ 的两个焦点分别为F1, F2. 若曲线Γ 上存在点P 满足 |PF1| : |F1F2| : |PF2| = 4 : 3 : 2, 则曲线Γ 的离心率等于 ( ) 2 或3 2 3 或2 2 或2 3 或3 2 5分
    A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
12. 12. 在整数集Z 中, 被5 除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”, 记为[k], 即[k] = {5n + k | n ∈Z}, k = 0, 1, 2, 3, 4. 给出如下四个结论: ①2011 ∈[1]; ②−3 ∈[3]; ③Z = [0] ∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4]; ④“整数a, b 属于同一‘类’ ”的充要条件是“a −b ∈[0]”. 其中, 正确结论的个数是 ( ) 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若向量a = (1, 1), b = (−1, 2), 则a · b 等于 . 5分
2. 2. 若△ABC 的面积为 √ 3, BC = 2, C = 60◦, 则边AB 的长度等于 . 5分
3. 3. 如图, 正方体ABCD −A1B1C1D1 中, AB = 2, 点E 为AD 的中点, 点 平面AB1C, 则线段EF 的长度等于 . A1 B1 C1 D1 A B C E F D 5分
   F. 在CD 上, 若EF
4. 4. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格, 即根据商品的最低销售 限价a, 最高销售限价b (b > a) 以及实数x (0 < x < 1) 确定实际销售价 格c = a + x (b −a). 这里, x 被称为乐观系数. 经验表明, 最佳乐观系数x 恰好使得(c −a) 是(b −c) 和(b −a) 的等比中项. 据此可得, 最佳乐观系 数x 的值等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知等差数列{an} 中, a1 = 1, a3 = −3. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若数列{an} 的前k 项和Sk = −35, 求k 的值.
2. 2. 如图, 直线l: y = x + b 与抛物线C: x2 = 4y 相切于点A. (1) 求实数b 的值; (2) 求以点A 为圆心, 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程. x y O l A C 661
3. 3. 某日用品按行业质量标准分成五个等级, 等级系数X 依次为1, 2, 3, 4, 5. 现从一批该日用品中随机抽取20 件, 对其等级系数进行统计分析, 得到频 率分布表如下: X 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 b c (1) 若所抽取的20 件日用品中, 等级系数为4 的恰有3 件, 等级系数为5 的恰有2 件, 求a, b, c 的值; (2) 在(1) 的条件下, 将等级系数为4 的3 件日用品记为x1, x2, x3, 等级 系数为5 的2 件日用品记为y1, y2, 现从x1, x2, x3, y1, y2 这5 件日用品 中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同), 写出所有可能的结果, 并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
4. 4. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥底面ABCD, AB ⊥AD, 点E 在线 段AD 上, 且CE AB. (1) 求证: CE ⊥平面PAD; (2) 若PA = AB = 1, AD = 3, CD = √ 2, ∠CDA = 45◦, 求四棱锥 P −ABCD 的体积. B C D A P E
5. 5. 设函数f (θ) = √ 3 sin θ + cos θ, 其中, 角θ 的顶点与坐标原点重合, 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边经过点P (x, y), 且0 ⩽θ ⩽π. (1) 若点P 的坐标为 ( 1 2, √ 3 2 ) , 求f (θ) 的值; (2) 若点P (x, y) 为平面区域Ω:        x + y ⩾1, x ⩽1, y ⩽1 上的一个动点, 试确定角θ 的取值范围, 并求函数f (θ) 的最小值和最大值.
6. 6. 已知a, b 为常数, 且a̸ = 0, 函数f (x) = −ax + b + ax ln x, f (e) = 2 (1) 求实数b 的值; (2) 求函数f (x) 的单调区间; (3) 当a = 1 时, 是否同时存在实数m 和M (m < M), 使得对每一个 t ∈[m, M], 直线y = t 与曲线y = f (x) ( x ∈ [1 e, e ]) 都有公共点? 若存 在, 求出最小的实数m 和最大的实数M; 若不存在, 说明理由. 662

原卷配图（含真实几何/应用题图示）