2011年福建（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年福建（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. i 是虚数单位, 若集合S = {−1, 0, 1}, 则 ( ) i ∈S 5分
   A. i ∈S B. i2 ∈S C. i3 ∈S D. 2
2. 2. 若a ∈R, 则“a = 2”是“(a −1) (a −2) = 0”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 若tan α = 3, 则sin 2α cos2α 的值等于 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 4. 如图, 矩形ABCD 中, 点E 为边CD 的中点, 若在矩形ABCD 内部随机 取一个点Q, 则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 ( ) A C B D E 4 3 2 3 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
5. 5. ∫1 0 (ex + 2x) dx 等于 ( ) 5分
   A. 1 B. e −1 C. e D. e + 1
6. 6. (1 + 2x)5 的展开式中, x2 的系数等于 ( ) 5分
   A. 80 B. 40 C. 20 D. 10
7. 7. 设圆锥曲线Γ 的两个焦点分别为F1, F2. 若曲线Γ 上存在点P 满足 |PF1| : |F1F2| : |PF2| = 4 : 3 : 2, 则曲线Γ 的离心率等于 ( ) 2 或3 2 3 或2 2 或2 3 或3 2 5分
   A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
8. 8. 已知O 是坐标原点, 点A (−1, 1), 若点M (x, y) 为平面区域        x + y ⩾2, x ⩽1, y ⩽2, 上的一个动点, 则# » OA · # » OM 的取值范围是 ( ) 5分
   A. [−1, 0] B. [0, 1] C. [0, 2] D. [−1, 2]
9. 9. 对于函数f (x) = a sin x + bx + c (其中a, b ∈R, c ∈Z), 选取a, b, c 的一 组值计算f (1) 和f (−1), 所得出的正确结果一定不可能是 ( ) 5分
   A. 4 和6 B. 3 和1 C. 2 和4 D. 1 和2
10. 10. 已知函数f (x) = ex + x, 对于曲线y = f (x) 上横坐标成等差数列的三个 点A, B, C, 给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中, 正确的判断是 ( ) 5分
    A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 运行如图所示的程序, 输出的结果是 . PRINT a END 5分
   A. = 1 B. = 2 A. = a + b
2. 2. 三棱锥P −ABC 中, PA ⊥底面ABC, PA = 3, 底面ABC 是边长为2 的正三角形, 则三棱锥P −ABC 的体积等于 . 5分
3. 3. 盒中装有形状、大小完全相同的5 个球, 其中红色球3 个, 黄色球2 个. 若 从中随机取出2 个球, 则所取出的2 个球颜色不同的概率等于 . 5分
4. 4. 如图, △ABC 中, AB = AC = 2, BC = 2 √ 3, 点D 在BC 边上, ∠ADC = 45◦, 则AD 的长度等于 . B A C D 5分
5. 5. 设V 是全体平面向量构成的集合, 若映射f: V →R 满足: 对任意 向量a = (x1, y1) ∈V , b = (x2, y2) ∈V , 以及任意λ ∈R, 均有 出如下映射: ①f1: V →R, f1 (m) = x −y, m = (x, y) ∈V ; ②f2: V →R, f2 (m) = x2 + y, m = (x, y) ∈V ; ③f3: V →R, f3 (m) = x + y + 1, m = (x, y) ∈V . 其中, 具有性质P 的映射的序号为 . (写出所有具有性质P 的映射 的序号) 5分
   F. (λa + (1 −λ) b) = λf (a) + (1 −λ) f (b), 则称映射f 具有性质P. 现给

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知等比数列{an} 的公比q = 3, 前3 项和S3 = 13 3 . (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若函数f (x) = A sin (2x + φ) (A > 0, 0 < φ < π) 在x = π 6 处取得最 大值, 且最大值为a3, 求函数f (x) 的解析式.
2. 2. 已知直线l: y = x + m, m ∈R. (1) 若以点M (2, 0) 为圆心的圆与直线l 相切于点P, 且点P 在y 轴上, 求该圆的方程; (2) 若直线l 关于x 轴对称的直线为l′, 问直线l′ 与抛物线C: x2 = 4y 是 否相切? 说明理由.
3. 3. 某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量y (单位: 千克) 与 销售价格x (单位: 元/千克) 满足关系式y = a x −3 + 10(x −6)2, 其中 3 < x < 6, a 为常数. 已知销售价格为5 元/千克时, 每日可售出该商品11 千克. (1) 求a 的值; (2) 若该商品的成本为3 元/千克, 试确定销售价格x 的值, 使商场每日销 售该商品所获得的利润最大. 659
4. 4. 某产品按行业生产标准分成8 个等级, 等级系数X 依次为1, 2, · · · , 8, 其 中X ⩾5 为标准A, X ⩾3 为标准B, 已知甲厂执行标准A 生产该产品, 产品的零售价为6 元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品, 产品的零售价为4 元/件, 假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (1) 已知甲厂产品的等级系数X1 的概率分布列如下表所示: X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且X1 的数学期望EX1 = 6, 求a, b 的值; (2) 为分析乙厂产品的等级系数X2, 从该厂生产的产品中随机抽取30 件, 相应的等级系数组成一个样本, 数据如下: 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布, 将频率视为概率, 求等级系数X2 的 数学期望; (3) 在(1)、(2) 的条件下, 若以” 性价比” 为判断标准, 则哪个工厂的产品 更具可购买性? 说明理由. 注: ①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望 产品的零售价 ; ②“性价比”大的产品更具可购买性.
5. 5. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥底面ABCD, 四边形ABCD 中, AB ⊥AD, AB + AD = 4, CD = √ 2, ∠CDA = 45◦. (1) 求证: 平面PAB ⊥平面PAD; (2) 设AB = AP. ①若直线PB 与平面PCD 所成的角为30◦, 求线段AB 的长; ②在线段AD 上是否存在一个点G, 使得点G 到点P, B, C, D 的距 离都相等? 说明理由. A D C B P
6. 6. 三选二. 【A】设矩阵M = ( a 0 0 b ) . (其中a > 0, b > 0) (1) 若a = 2, b = 3, 求矩阵M 的逆矩阵M −1; (2) 若曲线C: x2 + y2 = 1 在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C′: x2 4 + y2 = 1, 求a, b 的值. 【B】在直角坐标系xOy 中, 直线l 的方程为x −y + 4 = 0, 曲线C 的参数 方程为 { x = √ 3 cos α, y = sin α, (α 为参数). (1) 已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位, 且以原点O 为 极点, 以x 轴正半轴为极轴) 中, 点P 的极坐标为 ( 4, π 2 ) , 判断点P 与直 线l 的位置关系; (2) 设点Q 是曲线C 上的一个动点, 求它到直线l 的距离的最小值. 【C】设不等式|2x −1| < 1 的解集为M. (1) 求集合M; (2) 若a, b ∈M, 试比较ab + 1 与a + b 的大小. 660

原卷配图（含真实几何/应用题图示）