2011年辽宁（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年辽宁（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若a 为正实数, i 为虚数单位,  i  = 2, 则a = ( ) (B) √ 3 (C) √ 2 5分
   A. + i A. 2 D. 1
2. 2. 已知M, N 为集合I 的非空真子集, 且M, N 不相等, 若N ∩∁IM = ∅, 则M ∪N = ( ) 5分
   A. M B. N C. I D. ∅
3. 3. 已知F 是抛物线y2 = x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点, |AF|+|BF| = 3, 则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) 4 4 4 5分
   A. 3 B. 1 C. 5 D. 7
4. 4. △ABC 的三个内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c, 并且有a sin A sin B+ bcos2A = √ 2a, 则b ( ) √ 3 √ 2 (C) √ 3 (D) √ 2 5分
   A. = A. 2 B. 2
5. 5. 从1, 2, 3, 4, 5 中任取2 个不同的数, 事件A = “取到的2 个数之和为偶 数”, 事件B = “取到的2 个数均为偶数”, 则P (B | A) = ( ) 8 4 5 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 1
6. 6. 执行下面的程序框图, 如果输入的n 是4, 则输出的p 是 ( ) 开始 输入n s = 0, t = 1, k = 1, p = 1 k < n p = s + t s = t, t = p k = k + 1 输出p 结束 是 否 5分
   A. 8 B. 5 C. 3 D. 2
7. 7. 设sin (π 4 + θ ) = 1 3, 则sin 2θ = ( ) 9 9 9 9 5分
   A. −7 B. −1 C. 1 D. 7
8. 8. 如图, 四棱锥S −ABCD 的底面为正方形, SD ⊥底面ABCD, 则下列结 论中不正确的是 ( ) A B C D S 平面SCD 5分
   A. AC ⊥SB B. AB C. SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D. AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
9. 9. 设函数f (x) = { 21−x, x ⩽1, 1 −log2 x, x > 1, 则满足f (x) ⩽2 的x 取值范围 是 ( ) 5分
   A. [−1, 2] B. [0, 2] C. [1, +∞) D. [0, +∞)
10. 10. 若a, b, c 均为单位向量, 且a · b = 0, (a −c) · (b −c) ⩽0, 则|a + b −c| 的最大值为 ( ) (A) √ 2 −1 (C) √ 2 5分
    B. 1 D. 2
11. 11. 函数f (x) 的定义域为R, f (−1) = 2, 对任意x ∈R, f ′ (x) > 2, 则 ( ) 5分
    F. (x) > 2x + 4 的解集为 A. (−1, 1) B. (−1, +∞) C. (−∞, −1) D. (−∞, +∞)
12. 12. 已知球的直径SC = 4, A, B 是该球球面上的两点, AB = √ 3, ∠ASC = ∠BSC = 30◦, 则棱锥S −ABC 的体积为 ( ) √ 3 √ 3 (C) √ 3 5分
    A. 3 B. 2 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知点(2, 3) 在双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 上, C 的焦距为4, 则它的离心率为 . 5分
2. 2. 调查了某地若干户家庭的年收入x (单位: 万元) 和年饮食支出y (单位: 万 元), 调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系, 并由调查数据 得到y 对x 的回归直线方程: ˆy = 0.254x + 0.321. 由回归直线方程可知, 家庭收入每增加1 万元, 年饮食支出平均增加 万元. 5分
3. 3. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为2 √ 3, 它的三视图中的俯 视图如图所示, 左视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是 . 俯视图 5分
4. 4. 已知函数f (x) = A tan (ωx + φ) ( ω > 0, |φ| < π 2 ) , y = f (x) 的部分图 象如图, 则f ( π 24 ) = . x π 8 3π 8 y 1 O 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知等差数列{an} 满足a2 = 0, a6 + a8 = −10. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 求数列 { an 2n−1 } 的前n 项和.
2. 2. 如图, 四边形ABCD 为正方形, PD ⊥平面ABCD, PD QA, QA = AB = 1 2PD. (1) 证明: 平面PQC ⊥平面DCQ; (2) 求二面角Q −BP −C 的余弦值. A B C P Q D 681
3. 3. 某农场计划种植某种新作物, 为此对这种作物的两个品种(分别称为品种 甲和品种乙) 进行田间试验, 选取两大块地, 每大块地分成n 小块地, 在总 共2n 小块地中, 随机选n 小块地种植品种甲, 另外n 小块地种植品种乙. (1) 假设n = 4, 在第一大块地中, 种植品种甲的小块地的数目记为X, 求 X 的分布列和数学期望; (2) 试验时每大块地分成8 小块, 即n = 8, 试验结束后得到品种甲和品种 乙在各小块地上的每公顷产量(单位: kg/hm2) 如下表: 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙每公顷产量的样本平均数和样本方差; 根据试验结 果, 你应该种植哪一品种? 附: 样本数据x1, x2, · · · , xn 的样本方差s2 = 1 n[(x1 −x)2 + (x2 −x)2 + · · · + (xn −x)2], 其中x 为样本平均数.
4. 4. 如图, 已知椭圆C1 的中心在原点O, 长轴左、右端点M, N 在x 轴上, 椭 圆C2 的短轴为MN, 且C1, C2 的离心率都为e. 直线l ⊥MN, l 与C1 交于两点, 与C2 交于两点, 这四点按纵坐标从大到小依次为A, B, C, D. (1) 设e = 1 2, 求|BC| 与|AD| 的比值; (2) 当e 变化时, 是否存在直线l, 使得BO AN, 并说明理由. x y O A B C D M N
5. 5. 已知函数f (x) = ln x −ax2 + (2 −a) x. (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 设a > 0, 证明: 当0 < x < 1 (1 ) > f (1 ) ; (3) 若函数y = f (x) 的图象与x 轴交于A, B 两点, 线段AB 中点的横坐 标为x0, 证明: f ′ (x0) < 0.
6. 6. 三选一. 【A】如图, A, B, C, D 四点在同一圆上, AD 的延长线与BC 的延长线交 于E 点, 且EC = ED. (1) 证明: CD AB; (2) 延长CD 到F, 延长DC 到G, 使得EF = EG, 证明: A, B, G, F 四 点共圆. E F G A B C D 【B】在平面直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为 { x = cos φ, y = sin φ, (φ 为 参数), 曲线C2 的参数方程为 { x = a cos φ, y = b sin φ, O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线l: θ = α 与C1, C2 各 有一个交点, 当α = 0 时, 这两个交点间的距离为2, 当α = π 2 时, 这两个 交点重合. (1) 分别说明C1, C2 是什么曲线, 并求出a 与b 的值; (2) 设当α = π 4 时, l 与C1, C2 的交点分别为A1, B1, 当α = −π 4 时, l 与 C1, C2 的交点分别为A2, B2, 求四边形A1A2B2B1 的面积. 【C】已知函数f (x) = |x −2| −|x −5|. (1) 证明: −3 ⩽f (x) ⩽3; (2) 求不等式f (x) ⩾x2 −8x + 15 的解集. 682

原卷配图（含真实几何/应用题图示）