本卷为官方高考数学真题（2011年重庆（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
选择题（每题 5 分）（共 10 题）
-
1. 复数i2 + i3 + i4
1 −i
=
(
)
2 −1
2i
2 + 1
2i
2 −1
2i
2 + 1
2i 5分
A. −1
B. −1
C. 1
D. 1
-
2. “x < −1”是“x2 −1 > 0”的
(
) 5分
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
-
3. 已知lim
x→∞
(
2
x −1 + ax −1
3x
)
= 2, 则a =
(
) 5分
A. −6
B. 2
C. 3
D. 6
-
4. (1 + 3x)n (其中n ∈N 且n ⩾6) 的展开式中x5 与x6 的系数相等, 则
n =
(
) 5分
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
-
5. 下列区间中, 函数f (x) = |ln (2 −x)| 在其上为增函数的是
(
)
(B)
[
−1, 4
3
]
(C)
[
0, 3
2
) 5分
A. (−∞, 1]
D. [1, 2)
-
6. 若△ABC 的内角A, B, C 所对的边a, b, c 满足(a + b)2 −c2 = 4, 且
(
)
3
√
3
3 5分
C. = 60◦, 则ab 的值为
A. 4
B. 8 −4
C. 1
D. 2
-
7. 已知a > 0, b > 0, a + b = 2, 则y = 1
(
)
2
2 5分
A. + 4
B. 的最小值是
A. 7
B. 4
C. 9
D. 5
-
8. 在圆x2 + y2 −2x −6y = 0 内, 过点E (0, 1) 的最长弦和最短弦分别为AC
和BD, 则四边形ABCD 的面积为
(
)
√
2
√
2
√
2
√
2 5分
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
-
9. 高为
√
2
4
的四棱锥S −ABCD 的底面是边长为1 的正方形, 点S, A, B,
C, D 均在半径为1 的同一球面上, 则底面ABCD 的中心与顶点S 之间
的距离为
(
)
(A)
√
2
4
(B)
√
2
2
(D)
√
2 5分
C. 1
-
10. 设m, k 为整数, 方程mx2 −kx + 2 = 0 在区间(0, 1) 内有两个不同的根,
则m + k 的最小值为
(
) 5分
A. −8
B. 8
C. 12
D. 13
填空题（每题 5 分）（共 5 题）
-
1. 在等差数列{an} 中, a3 + a7 = 37, 则a2 + a4 + a6 + a8 =
. 5分
-
2. 已知单位向量e1, e2 的夹角为60◦, 则|2e1 −e2| =
. 5分
-
3. 将一枚均匀的硬币抛掷6 次, 则正面出现的次数比反面出现的次数多的概
率为
. 5分
-
4. 已知sin α = 1
2 + cos α, 且α ∈
(
0, π
2
)
, 则
cos 2α
sin
(
α −π
4
) 的值为
. 5分
-
5. 设圆C 位于抛物线y2 = 2x 与直线x = 3 所围成的封闭区域(包含边界)
内, 则圆C 的半径能取到的最大值为
. 5分
解答题（分值见原卷）（共 6 题）
-
1. 设a ∈R, f (x) = cos x (a sin x −cos x) + cos2 (π
2 −x
)
满足f
(
−π
3
)
=
[π
4 , 11π
24
]
上的最大值和最小值.
-
2. 某市公租房的房源位于A, B, C 三个片区. 设每位申请人只申请其中一个
片区的房源, 且申请其中任一个片区的房源是等可能的. 求该市的任4 位
申请人中:
(1) 恰有2 人申请A 片区的房源的概率;
(2) 申请的房源所在片区的个数ξ 的分布列与期望.
-
3. 设f (x) = x3 + ax2 + bx + 1 的导数f ′ (x) 满足f ′ (1) = 2a, f ′ (2) = −b,
其中常数a, b ∈R.
(1) 求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程;
(2) 设g (x) = f ′ (x) e−x, 求函数g (x) 的极值.
651
-
4. 如图, 在四面体ABCD 中, 平面ABC ⊥平面ACD, AB ⊥BC,
AD = CD, ∠CAD = 30◦.
(1) 若AD = 2, AB = 2BC, 求四面体ABCD 的体积;
(2) 若二面角C −AB −D 为60◦, 求异面直线AD 与BC 所成角的余弦
值.
A
C
B
D
-
5. 如图, 椭圆的中心为原点O, 离心率e =
√
2
2 , 一条准线的方程为x = 2
√
2.
(1) 求该椭圆的标准方程;
(2) 设动点P 满足: # »
OP = # »
OM + 2# »
ON, 其中M, N 是椭圆上的点, 直
线OM 与ON 的斜率之积为−1
2. 问: 是否存在两个定点F1, F2, 使得
|PF1| + |PF2| 为定值? 若存在, 求F1, F2 的坐标; 若不存在, 说明理由.
x
y
O
P
N
M
x = 2
√
2
-
6. 设实数数列{an} 的前n 项和Sn 满足Sn+1 = an+1Sn (n ∈N∗).
(1) 若a1, S2, −2a2 成等比数列, 求S2 和a3;
(2) 求证: 对k ⩾3 有0 ⩽ak+1 ⩽ak ⩽4
3.
652
原卷配图（含真实几何/应用题图示）
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