2011年陕西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2011年陕西（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设a, b 是向量, 命题“若a = −b, 则|a| = |b|”的逆命题是 ( ) 5分
   A. 若a̸ = −b, 则|a|̸ = |b| B. 若a = −b, 则|a|̸ = |b| C. 若|a|̸ = |b|, 则a̸ = −b D. 若|a| = |b|, 则a = −b
2. 2. 设抛物线的顶点在原点, 准线方程为x = −2, 则抛物线的方程是 ( ) 5分
   A. y2 = −8x B. y2 = −4x C. y2 = 8x D. y2 = 4x
3. 3. 设0 < a < b, 则下列不等式中正确的是 ( ) √ ab < a + b 2 √ ab < a + b 2 < b √ ab < b < a + b 2 (D) √ ab < a < a + b 2 < b 5分
   A. a < b < B. a < C. a <
4. 4. 函数y = x 1 3 的图象是 ( ) (A) x 1 1 y O (B) x 1 1 y O (C) x 1 1 y O (D) x 1 1 y O 5分
5. 5. 某几何体的三视图如图所示, 则它的体积是 ( ) 俯视图 主视图 左视图 2 2 2 • 3 3 3 5分
   A. 8 −2π B. 8 −π C. 8 −2π D. 2π
6. 6. 方程|x| = cos x 在(−∞, +∞) 内 ( ) 5分
   A. 没有根 B. 有且仅有一个根 C. 有且仅有两个根 D. 有无穷多个根
7. 7. 下面的框图中, 当x1 = 6, x2 = 9, p = 8.5 时, x3 等于 ( ) 开始 输入x1, x2, x3 |x1 −x2| < |x2 −x3| p = x1 + x2 2 p = x2 + x3 2 输出p 结束 是 否 5分
   A. 7 B. 8 C. 10 D. 11
8. 8. 设集合M = { y  y = | cos2 x −sin2 x|, x ∈R } , N = { x  x i  < 1, i 为虚 数单位, x ∈R } , 则M ∩N 为 ( ) 5分
   A. (0, 1) B. (0, 1] C. [0, 1) D. [0, 1]
9. 9. 设(x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn) 是变量x 和y 的n 个样本点, 直线l 是 由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图), 以下结论中正 确的是 ( ) x y l O 5分
   A. 直线l 过点(x, y) B. x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 C. x 和y 的相关系数在0 到1 之间 D. 当n 为偶数时, 分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
10. 10. 植树节某班20 名同学在一段直线公路一侧植树, 每人植一棵, 相邻两棵树 相距10 米, 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边, 现将树坑从1 到 20 依次编号, 为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小, 树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为 ( ) 5分
    A. 1 和20 B. 9 和10 C. 9 和11 D. 10 和11

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 设函数f (x) = { lg x, x > 0, 10x, x ⩽0, 则f (f (−2)) = . 5分
2. 2. 如图, 点(x, y) 在四边形ABCD 内部和边界上运动, 那么2x −y 的最小 值为 . D(1, 0) x y C( √ 5, 1) B( √ 3, √ 2) A(1, 1) O • • • • 5分
3. 3. 观察下列等式 1 = 1 2 + 3 + 4 = 9 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49 · · · 照此规律, 第五个等式应为 . 5分
4. 4. 设n ∈N+, 一元二次方程x2 −4x + n = 0 有整数根的充要条件是 n = . 5分
5. 5. 三选一. 【A】若不等式|x + 1| + |x −2| ⩾a 对任意x ∈R 恒成立, 则a 的取值范 围是 . 【B】如图, ∠B = ∠D, AE ⊥BC, ∠ACD = 90◦, 且AB = 6, AC = 4, AD = 12, 则AE = . A E C B D 【C】直角坐标系xOy 中, 以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设点A, B 分别在曲线C1: { x = 3 + cos θ, y = sin θ, (θ 为参数) 和曲线C2: ρ = 1 上, 则|AB| 的最小值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 如图, 在△ABC 中, ∠ABC = 45◦, ∠BAC = 90◦, AD 是BC 上的高, 沿 AD 把△ABD 折起, 使∠BDC = 90◦. (1) 证明: 平面ADB ⊥平面BDC; (2) 若BD = 1, 求三棱锥D −ABC 的表面积. A C B D A B C D 695
2. 2. 设椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 过点(0, 4), 离心率为3 5. (1) 求C 的方程; (2) 求过点(3, 0) 且斜率为4 5 的直线被C 所截线段的中点坐标.
3. 3. 叙述并证明余弦定理.
4. 4. 如图, 从点P1 (0, 0) 作x 轴的垂线交曲线y = ex 于点Q1 (0, 1), 曲线在Q1 点处的切线与x 轴交于点P2, 再从P2 作x 轴的垂线交曲线于点Q2, 依次 重复上述过程得到一系列点: P1, Q1; P2, Q2; · · · ; Pn, Qn, 记Pk 点的坐标 为(xk, 0) (k = 1, 2, · · · , n). (1) 试求xk 与xk−1 的关系(2 ⩽k ⩽n); (2) 求|P1Q1| + |P2Q2| + |P3Q3| + · · · + |PnQn|. x y O P1 y = ex P2 P3 P4 Q4 Q3 Q2 Q1 • • • • • • • •
5. 5. 如图, A 地到火车站共有两条路径L1 和L2, 现随机抽取100 位从A 地到 达火车站的人进行调查, 调查结果如下: 所用时间(分钟) 10 ∼20 20 ∼30 30 ∼40 40 ∼50 50 ∼60 选择L1 的人数 6 12 18 12 12 选择L2 的人数 0 4 16 16 4 (1) 试估计40 分钟内不能赶到火车站的概率; (2) 分别求通过路径L1 和L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3) 现甲、乙两人分别有40 分钟和50 分钟时间用于赶往火车站, 为了尽 最大可能在允许的时间内赶到火车站, 试通过计算说明, 他们应如何选择 各自的路径. A 火车站 • • L1 L2
6. 6. 设f (x) = ln x, g (x) = f (x) + f ′ (x). (1) 求g (x) 的单调区间和最小值; (2) 讨论g (x) 与g (1 x ) 的大小关系; (3) 求a 的取值范围, 使得g (a) −g (x) < 1 696

原卷配图（含真实几何/应用题图示）