2011年陕西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2011年陕西（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设a, b 是向量, 命题“若a = −b, 则|a| = |b|”的逆命题是 ( ) 5分
   A. 若a̸ = −b, 则|a|̸ = |b| B. 若a = −b, 则|a|̸ = |b| C. 若|a|̸ = |b|, 则a̸ = −b D. 若|a| = |b|, 则a = −b
2. 2. 设抛物线的顶点在原点, 准线方程为x = −2, 则抛物线的方程是 ( ) 5分
   A. y2 = −8x B. y2 = −4x C. y2 = 8x D. y2 = 4x
3. 3. 设函数f (x) (x ∈R) 满足f (−x) = f (x), f (x + 2) = f (x), 则y = f (x) 的图象可能是 ( ) (A) x 2 1 −2 −1 y O (B) x 2 1 −2 −1 y O (C) x 4 2 −4 −2 y O (D) x 4 2 −4 −2 y O 5分
4. 4. (4x −2−x) 6 (x ∈R) 展开式中的常数项是 ( ) 5分
   A. −20 B. −15 C. 15 D. 20
5. 5. 某几何体的三视图如图所示, 则它的体积是 ( ) 俯视图 主视图 左视图 2 2 2 • 3 3 3 5分
   A. 8 −2π B. 8 −π C. 8 −2π D. 2π
6. 6. 函数f (x) = √x −cos x 在[0, +∞) 内 ( ) 5分
   A. 没有零点 B. 有且仅有一个零点 C. 有且仅有两个零点 D. 有无穷多个零点
7. 7. 设集合M = { y  y = | cos2 x −sin2 x|, x ∈R } , N = { x  x −1 i  < √ 2, i 为虚数单位, x ∈R } , 则M ∩N 为 ( ) 5分
   A. (0, 1) B. (0, 1] C. [0, 1) D. [0, 1]
8. 8. 如图, x1, x2, x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分, p 为该题 的最终得分, 当x1 = 6, x2 = 9, p = 8.5 时, x3 等于 ( ) 开始 输入x1, x2 |x1 −x2| ⩽2 输入x3 |x3 −x1| < |x3 −x2| x1 = x3 x2 = x3 p = x1 + x2 2 输出p 结束 否 否 是 是 5分
   A. 11 B. 10 C. 8 D. 7
9. 9. 设(x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn) 是变量x 和y 的n 个样本点, 直线l 是 由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图), 以下结论中正 确的是 ( ) x y l O 5分
   A. x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B. x 和y 的相关系数在0 到1 之间 C. 当n 为偶数时, 分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 D. 直线l 过点(¯x, ¯y)
10. 10. 甲、乙两人一起去游“2011 西安世园会”, 他们约定, 各自独立地从1 到6 号景点中任选4 个进行游览, 每个景点参观1 小时, 则最后一小时他们同 在一个景点的概率是 ( ) 36 9 36 6 5分
    A. 1 B. 1 C. 5 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 设(x) =      lg x, x > 0, x + ∫a 0 3t2dt, x ⩽0. 若f (f (1)) = 1, 则a = . 5分
2. 2. 设n ∈N+, 一元二次方程x2 −4x + n = 0 有整数根的充要条件是 n = . 5分
3. 3. 观察下列等式 1 = 1 2 + 3 + 4 = 9 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49 · · · 照此规律, 第n 个等式应为 . 5分
4. 4. 植树节某班20 名同学在一段直线公路一侧植树, 每人植一棵, 相邻两棵树 相距10 米, 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边, 使每位同学从各自 树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小, 这个最小值为 米. 5分
5. 5. 三选一. 【A】若关于x 的不等式|a| ⩾|x + 1| + |x −2| 存在实数解, 则实数a 的取 值范围是 . 【B】如图, ∠B = ∠D, AE ⊥BC, ∠ACD = 90◦, 且AB = 6, AC = 4, AD = 12, 则BE = . A E C B D 【C】直角坐标系xOy 中, 以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设点A, B 分别在曲线C1: { x = 3 + cos θ, y = 4 + sin θ, (θ 为参数) 和曲线C2: ρ = 1 上, 则|AB| 的最小值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 如图, 在△ABC 中, ∠ABC = 60◦, ∠BAC = 90◦, AD 是BC 上的高, 沿 AD 把△ABD 折起, 使∠BDC = 90◦. (1) 证明: 平面ADB ⊥平面BDC; (2) 设E 为BC 的中点, 求# » AE 与# » DB 夹角的余弦值. A C B D A B C E D 693
2. 2. 如图, 设P 是圆x2 + y2 = 25 上的动点, 点D 是P 在x 轴上的投影, M 为PD 上一点, 且|MD| = 4 5 |PD|. (1) 当P 在圆上运动时, 求点M 的轨迹C 的方程; (2) 求过点(3, 0) 且斜率为4 5 的直线被C 所截线段的长度. x y O D P M•
3. 3. 叙述并证明余弦定理.
4. 4. 如图, 从点P1 (0, 0) 作x 轴的垂线交曲线y = ex 于点Q1 (0, 1), 曲线在Q1 点处的切线与x 轴交于点P2, 再从P2 作x 轴的垂线交曲线于点Q2, 依次 重复上述过程得到一系列点: P1, Q1; P2, Q2; · · · ; Pn, Qn, 记Pk 点的坐标 为(xk, 0) (k = 1, 2, · · · , n). (1) 试求xk 与xk−1 的关系(2 ⩽k ⩽n); (2) 求|P1Q1| + |P2Q2| + |P3Q3| + · · · + |PnQn|. x y O P1 y = ex P2 P3 P4 Q4 Q3 Q2 Q1 • • • • • • • •
5. 5. 如图, A 地到火车站共有两条路径L1 和L2, 据统计, 通过两条路径所用的 时间互不影响, 所用时间落在各时间段内的频率如下表: 所用时间(分钟) 10 ∼20 20 ∼30 30 ∼40 40 ∼50 50 ∼60 选择L1 的人数 6 12 18 12 12 选择L2 的人数 0 4 16 16 4 现甲、乙两人分别有40 分钟和50 分钟时间用于赶往火车站. (1) 为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站, 甲和乙应如何选择 各自的路径? (2) 用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数, 针对(1) 的选择方案, 求X 的分布列和数学期望. A 火车站 • • L1 L2
6. 6. 设函数f (x) 定义在(0, +∞) 上, f (1) = 0, 导函数f ′ (x) = 1 x, g (x) = (1) 求g (x) 的单调区间和最小值; (2) 讨论g (x) 与g (1 x ) 的大小关系; (3) 是否存在x0 > 0, 使得|g (x) −g (x0)| < 1 x 对任意x > 0 成立? 若存 在, 求出x0 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 694

原卷配图（含真实几何/应用题图示）