2012年上海（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年上海（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 计算: 3 −i 1 + i = . (i 为虚数单位) 5分
2. 2. 若集合A = {x | 2x −1 > 0}, B = {x | |x| < 1}, 则A ∩B = . 5分
3. 3. 函数f (x) =  sin x 2 −1 cos x  的最小正周期是 . 5分
4. 4. 若#»d = (2, 1) 是直线l 的一个方向向量, 则l 的倾斜角的大小为 . (结果用反三角函数值表示) 5分
5. 5. 一个高为2 的圆柱, 底面周长为2π. 该圆柱的表面积为 . 5分
6. 6. 方程4x −2x+1 −3 = 0 的解是 . 5分
7. 7. 有一列正方体, 棱长组成以1 为首项, 1 2 为公比的等比数列, 体积分别记为 V1, V2, · · · , Vn, · · · , 则lim n→∞(V1 + V2 + · · · + Vn) = . 5分
8. 8. 在 ( x −1 x )6 的二项展开式中, 常数项等于 . 5分
9. 9. 已知y = f (x) 是奇函数, 若g (x) = f (x) + 2 且g (1) = 1, 则 . 5分
   G. (−1) =
10. 10. 满足约束条件|x| + 2|y| ⩽2 的目标函数z = y −x 的最小值是 . 5分
11. 11. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛. 若每人只选择一个项目, 则有 且仅有两人选择的项目相同的概率是 . (结果用最简分数表示) 5分
12. 12. 在矩形ABCD 中, 边AB, AD 的长分别为2, 1. 若M, N 分别是BC, CD 上的点, 且满足 # » BM  # » BC  = # » CN  # » CD  , 则# » AM · # » AN 的取值范围是 . 5分
13. 13. 已知函数y = f (x) 的图象是折线段ABC, 其中A (0, 0), B (1 2, 1 ) , 为 . 5分
    C. (1, 0). 函数y = xf (x) (0 ⩽x ⩽1) 的图象与x 轴围成的图形的面积
14. 14. 已知f (x) = 1 1 + x, 各项均为正数的数列{an} 满足a1 = 1, an+2 = f (an). 若a2010 = a2012, 则a20 + a11 的值是 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若1 + √ 2i 是关于x 的实系数方程x2 + bx + c = 0 的一个复数根, 则( ) 5分
   A. b = 2, c = 3 B. b = 2, c = −1 C. b = −2, c = −1 D. b = −2, c = 3
2. 2. 对于常数m, n, “mn > 0”是“方程mx2 + ny2 = 1 表示的曲线是椭圆” 的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 在△ABC 中, 若sin2 A + sin2 B < sin2 C, 则△ABC 的形状是 ( ) 5分
   A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定
4. 4. 若Sn = sin π 7 + sin 2π 7 + · · · + sin nπ 7 (n ∈N∗), 则在S1, S2, · · · , S100 中, 正数的个数是 ( ) 5分
   A. 16 B. 72 C. 86 D. 100

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, PA ⊥底面ABC, D 是PC 的中点. 已知 ∠BAC = π 2 , AB = 2, AC = 2 √ 3, PA = 2. 求: (1) 三棱锥P −ABC 的体积; (2) 异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示). A B C P D
2. 2. 已知函数f (x) = lg (x + 1). (1) 若0 < f (1 −2x) −f (x) < 1, 求x 的取值范围; (2) 若g (x) 是以2 为周期的偶函数, 且当0 ⩽x ⩽1 时, 有g (x) = f (x), 求函数y = g (x) (x ∈[1, 2]) 的反函数. 769
3. 3. 海事救援船对一艘失事船进行定位: 以失事船的当前位置为原点, 以正北 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1 海里为单位长度), 则救援船 恰好在失事船正南方向12 海里A 处, 如图. 现假设: ①失事船的移动路径 可视为抛物线y = 12 49x2; ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援; ③救 援船出发t 小时后, 失事船所在位置的横坐标为7t. (1) 当t = 0.5 时, 写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合, 求救援船速度的大小和方向; (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? x y O A P
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知双曲线C: 2x2 −y2 = 1. (1) 设F 是C 的左焦点, M 是C 右支上一点. 若|MF| = 2 √ 2, 求点M 的坐标; (2) 过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线, 求这两组平行线围成的平 行四边形的面积; (3) 设斜率为k ( |k| < √ 2 ) 的直线l 交C 于P, Q 两点. 若l 与圆 x2 + y2 = 1 相切, 求证: OP ⊥OQ.
5. 5. 对于项数为m 的有穷数列{an}, 记bk = max {a1, a2, · · · , ak} (k = 1, 2, · · · , m), 即bk 为a1, a2, · · · , ak 中的最大值, 并称数列{bn} 是{an} 的 控制数列. 如1, 3, 2, 5, 5 的控制数列是1, 3, 3, 5, 5. (1) 若各项均为正整数的数列{an} 的控制数列为2, 3, 4, 5, 5, 写出所有的 {an}; (2) 设{bn} 是{an} 的控制数列, 满足ak + bm−k+1 = C (C 为常数, k = 1, 2, · · · , m). 求证: bk = ak (k = 1, 2, · · · , m); (3) 设m = 100, 常数a ∈ (1 2, 1 ) . 若an = an2 −(−1) n(n+1) 2 n, {bn} 是 {an} 的控制数列, 求(b1 −a1) + (b2 −a2) + · · · + (b100 −a100). 770

原卷配图（含真实几何/应用题图示）