2012年上海（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年上海（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 计算: 3 −i 1 + i = . (i 为虚数单位) 5分
2. 2. 若集合A = {x | 2x + 1 > 0}, B = {x | |x −1| < 2}, 则A ∩B = . 5分
3. 3. 函数f (x) =  2 cos x sin x −1  的值域是 . 5分
4. 4. 若#»n = (−2, 1) 是直线l 的一个法向量, 则l 的倾斜角的大小为 . (结果用反三角函数值表示) 5分
5. 5. 在 ( x −2 x )6 的二项展开式中, 常数项等于 . 5分
6. 6. 有一列正方体, 棱长组成以1 为首项, 1 2 为公比的等比数列, 体积分别记为 V1, V2, · · · , Vn, · · · , 则lim n→∞(V1 + V2 + · · · + Vn) = . 5分
7. 7. 已知函数f (x) = e|x−a| (a 为常数). 若f (x) 在区间[1, +∞) 上是增函数, 则a 的取值范围是 . 5分
8. 8. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π 的半圆面, 则该圆锥的体积 为 . 5分
9. 9. 已知y = f (x) + x2 是奇函数, 且f (1) = 1. 若g (x) = f (x) + 2, 则 . 5分
   G. (−1) =
10. 10. 如图, 在极坐标系中, 过点M (2, 0) 的直线l 与极轴的夹角α = π 6 . 若将l 的极坐标方程写成ρ = f (θ) 的形式, 则f (θ) = . α x M O l 5分
11. 11. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛. 若每人都选择其中两个项目, 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 . (结果用最简分数表 示) 5分
12. 12. 在平行四边形ABCD 中, ∠A = π 3 , 边AB, AD 的长分别为2, 1. 若M, N 分别是边BC, CD 上的点, 且满足 # » BM  # » BC  = # » CN  # » CD  , 则# » AM · # » AN 的取 值范围是 . 5分
13. 13. 已知函数y = f (x) 的图象是折线段ABC, 其中A (0, 0), B (1 2, 5 ) , 为 . 5分
    C. (1, 0). 函数y = xf (x) (0 ⩽x ⩽1) 的图象与x 轴围成的图形的面积
14. 14. 如图, AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱, BC = 2. 若AD = 2c, 且AB + BD = AC + CD = 2a, 其中a、c 为常数, 则四面体ABCD 的 体积的最大值是 . A B C D 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若1 + √ 2i 是关于x 的实系数方程x2 + bx + c = 0 的一个复数根, 则( ) 5分
   A. b = 2, c = 3 B. b = −2, c = 3 C. b = −2, c = −1 D. b = 2, c = −1
2. 2. 在△ABC 中, 若sin2 A + sin2 B < sin2 C, 则△ABC 的形状是 ( ) 5分
   A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
3. 3. 设10 ⩽x1 < x2 < x3 < x4 ⩽104, x5 = 105. 随机变量ξ1 取值x1, x2, x3, x4, x5 的概率均为0.2, 随机变量ξ2 取值x1 + x2 2 , x2 + x3 2 , x3 + x4 2 , x4 + x5 2 , x5 + x1 2 的概率也均为0.2. 若记Dξ1, Dξ2 分别为ξ1, ξ2 的方差, 则 ( ) 5分
   A. Dξ1 > Dξ2 B. Dξ1 = Dξ2 C. Dξ1 < Dξ2 D. Dξ1 与Dξ2 的大小关系与x1, x2, x3, x4 的取值有关
4. 4. 设an = 1 n sin nπ 25 , Sn = a1 + a2 + · · · + an. 在S1, S2, · · · , S100 中, 正数的 个数是 ( ) 5分
   A. 25 B. 50 C. 75 D. 100

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 是矩形, PA ⊥底面ABCD, √ 2, PA = 2. 求: (1) 三角形PCD 的面积; (2) 异面直线BC 与AE 所成的角的大小. A B C D P E
2. 2. 已知函数f (x) = lg (x + 1). (1) 若0 < f (1 −2x) −f (x) < 1, 求x 的取值范围; (2) 若g (x) 是以2 为周期的偶函数, 且当0 ⩽x ⩽1 时, 有g (x) = f (x), 求函数y = g (x) (x ∈[1, 2]) 的反函数. 767
3. 3. 海事救援船对一艘失事船进行定位: 以失事船的当前位置为原点, 以正北 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1 海里为单位长度), 则救援船 恰好在失事船正南方向12 海里A 处, 如图. 现假设: ①失事船的移动路径 可视为抛物线y = 12 49x2; ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援; ③救 援船出发t 小时后, 失事船所在位置的横坐标为7t. (1) 当t = 0.5 时, 写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合, 求救援船速度的大小和方向; (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? x y O A P
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知双曲线C1: 2x2 −y2 = 1. (1) 过C1 的左顶点引C1 的一条渐近线的平行线, 求该直线与另一条渐近 线及x 轴围成的三角形的面积; (2) 设斜率为1 的直线l 交C1 于P, Q 两点. 若l 与圆x2 + y2 = 1 相切. 求证: OP ⊥OQ; (3) 设椭圆C2: 4x2 + y2 = 1. 若M, N 分别是C1, C2 上的动点, 且 OM ⊥ON, 求证: O 到直线MN 的距离是定值.
5. 5. 对于数集X = {−1, x1, x2, · · · , xn}, 其中0 < x1 < x2 < · · · < xn, n ⩾2, 定义向量集Y = {#»a | #»a = (s, t) , s ∈X, t ∈X }. 若对任意 #»a 1 ∈Y , 存在#»a 2 ∈Y , 使得#»a 1 · #»a 2 = 0, 则称X 具有性质P. 例如 {−1, 1, 2} 具有性质P. (1) 若x > 2, 且{−1, 1, 2, x} 具有性质P, 求x 的值; (2) 若X 具有性质P, 求证: 1 ∈X, 且当xn > 1 时, x1 = 1; (3) 若X 具有性质P, 且x1 = 1, x2 = q (q 为常数), 求有穷数列x1, x2, · · · , xn 的通项公式. 768

原卷配图（含真实几何/应用题图示）