2012年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {x ∈R | 3x + 2 > 0}, B = {x ∈R | (x + 1)(x −3) > 0}, 则A ∩B = ( ) (B) ( −1, −2 3 ) (C) ( −2 3, 3 ) 5分
   A. (−∞, −1) D. (3, +∞)
2. 2. 在复平面内, 复数 10i 3 + i 对应的点的坐标为 ( ) 5分
   A. (1, 3) B. (3, 1) C. (−1, 3) D. (3, −1)
3. 3. 设不等式组 { 0 ⩽x ⩽2, 0 ⩽y ⩽2 表示的平面区域为D. 在区域D 内随机取一个 点, 则此点到坐标原点的距离大于2 的概率是 ( ) 4 2 6 4 5分
   A. π B. π −2 C. π D. 4 −π
4. 4. 执行如图所示的程序框图, 输出的S 值为 ( ) 开始 k = 0, S = 1 k = k + 1 S = S · 2k k < 3 输出S 结束 否 是 5分
   A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
5. 5. 函数f (x) = x 1 2 − (1 2 )x 的零点个数为 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 6. 已知{an} 为等比数列, 下面结论中正确的是 ( ) 1 + a2 3 ⩾2a2 2 5分
   A. a1 + a3 ⩾2a2 B. a2 C. 若a1 = a3, 则a1 = a2 D. 若a3 > a1, 则a4 > a2
7. 7. 某三棱锥的三视图如图所示, 该三棱锥的表面积是 ( ) 俯视图 正(主) 视图 侧(左) 视图 2 3 4 4 √ 5 √ 5 √ 5 √ 5 5分
   A. 28 + 6 B. 30 + 6 C. 56 + 12 D. 60 + 12
8. 8. 某棵果树前n 年的总产量Sn 与n 之间的关系如图所示. 从目前记录的结 果看, 前m 年的年平均产量最高, m 的值为 ( ) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Sn • • • • • • • • • • • O 5分
   A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 直线y = x 被圆x2 + (y −2)2 = 4 截得的弦长为 . 5分
2. 2. 已知{an} 为等差数列, Sn 为其前n 项和, 若a1 = 1 2, S2 = a3, 则 a2 = ; Sn = . 5分
3. 3. 在△ABC 中, 若a = 3, b = √ 3, ∠A = π 3 , 则∠C 的大小为 . 5分
4. 4. 已知函数f (x) = lg x. 若f (ab) = 1, 则f (a2) + f (b2) = . 5分
5. 5. 已知正方形ABCD 的边长为1, 点E 是AB 边上的动点, 则# » DE · # » CB 的 值为 ; # » DE · # » DC 的最大值为 . 5分
6. 6. 已知f (x) = m (x −2m) (x + m + 3), g (x) = 2x−2. 若∀x ∈R, f (x) < 0 或g (x) < 0, 则m 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = (sin x −cos x) sin 2x sin x . (1) 求f (x) 的定义域及最小正周期; (2) 求f (x) 的单调递减区间.
2. 2. 如图1, 在Rt△ABC 中, ∠C = 90◦, D, E 分别是AC, AB 的中点, 点 A1F ⊥CD, 如图2. (1) 求证: DE 平面A1CB; (2) 求证: A1F ⊥BE; (3) 线段A1B 上是否存在点Q, 使A1C ⊥平面DEQ? 说明理由. A B C D F E 图1 • A1 B C D E 图2 F 719
3. 3. 近年来, 某市为促进生活垃圾的分类处理, 将生活垃圾分为厨余垃圾、可回 收物和其他垃圾三类, 并分别设置了相应的垃圾箱. 为调查居民生活垃圾 分类投放情况, 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000 吨生活垃圾, 数 据统计如下(单位: 吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2) 试估计生活垃圾投放错误的概率; (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量 分别为a, b, c, 其中a > 0, a + b + c = 600. 当数据a, b, c 的方差s2 最大 时, 写出a, b, c 的值(结论不要求证明), 并求此时s2 的值. (注: s2 = 1 n [ (x1 −x)2 + (x2 −x)2 + · · · + (xn −x)2] , 其中x 为数据x1, x2, · · · , xn 的平均数)
4. 4. 已知函数f (x) = ax2 + 1 (a > 0), g (x) = x3 + bx. (1) 若曲线y = f (x) 与曲线y = g (x) 在它们的交点(1, c) 处具有公共切 线, 求a, b 的值; (2) 当a = 3, b = −9 时, 若函数f (x) + g (x) 在区间[k, 2] 上的最大值为 28, 求k 的取值范围.
5. 5. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的一个顶点为A (2, 0), 离心率为 √ 2 2 , 直线y = k (x −1) 与椭圆C 交于不同的两点M, N. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 当△AMN 的面积为 √ 10 3 时, 求k 的值.
6. 6. 设A 是如下形式的2 行3 列的数表, a b c d e f 满足性质P: a, b, c, d, e, f ∈[−1, 1], 且a + b + c + d + e + f = 0. 记ri (A) 为A 的第i 行各数之和(i = 1, 2), cj (A) 为A 的第j 列各数之 和(j = 1, 2, 3); 记k (A) 为|r1 (A) |, |r2 (A) |, |c1 (A) |, |c2 (A) |, |c3 (A) | 中的最小值. (1) 对如下数表A, 求k (A) 的值; 1 1 −0.8 0.1 −0.3 −1 (2) 设数表A 形如 1 1 −1 −2d d d −1 其中−1 ⩽d ⩽0. 求k (A) 的最大值; (3) 对所有满足性质P 的2 行3 列的数表A, 求k (A) 的最大值. 720

原卷配图（含真实几何/应用题图示）