2012年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {x ∈R | 3x + 2 > 0}, B = {x ∈R | (x + 1)(x −3) > 0}, 则A ∩B = ( ) (B) ( −1, −2 3 ) (C) ( −2 3, 3 ) 5分
   A. (−∞, −1) D. (3, +∞)
2. 2. 设不等式组 { 0 ⩽x ⩽2, 0 ⩽y ⩽2 表示的平面区域为D. 在区域D 内随机取一个 点, 则此点到坐标原点的距离大于2 的概率是 ( ) 4 2 6 4 5分
   A. π B. π −2 C. π D. 4 −π
3. 3. 设a, b ∈R. “a = 0”是“复数a + bi 是纯虚数”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 执行如图所示的程序框图, 输出的S 值为 ( ) 开始 k = 0, S = 1 k = k + 1 S = S · 2k k < 3 输出S 结束 否 是 5分
   A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
5. 5. 如图, ∠ACB = 90◦, CD ⊥AB 于点D, 以BD 为直径的圆与BC 交于点 E, 则 ( ) B C A D E 5分
   A. CE · CB = AD · DB B. CE · CB = AD · AB C. AD · AB = CD2 D. CE · EB = CD2
6. 6. 从0, 2 中选一个数字, 从1, 3, 5 中选两个数字, 组成无重复数字的三位数, 其中奇数的个数为 ( ) 5分
   A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
7. 7. 某三棱锥的三视图如图所示, 该三棱锥的表面积是 ( ) 俯视图 正(主) 视图 侧(左) 视图 2 3 4 4 √ 5 √ 5 √ 5 √ 5 5分
   A. 28 + 6 B. 30 + 6 C. 56 + 12 D. 60 + 12
8. 8. 某棵果树前n 年的总产量Sn 与n 之间的关系如图所示. 从目前记录的结 果看, 前m 年的年平均产量最高, m 的值为 ( ) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Sn • • • • • • • • • • • O 5分
   A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 直线 { x = 2 + t, y = −1 −t, (t 为参数) 与曲线 { x = 3 cos α, y = 3 sin α, (α 为参数) 的交点个 数为 . 5分
2. 2. 已知{an} 为等差数列, Sn 为其前n 项和, 若a1 = 1 2, S2 = a3, 则 a2 = ; Sn = . 5分
3. 3. 在△ABC 中, 若a = 2, b + c = 7, cos B = −1 4, 则b = . 5分
4. 4. 在直角坐标系xOy 中, 直线l 过抛物线y2 = 4x 的焦点F, 且与该抛物线 相交于A, B 两点, 其中点A 在x 轴上方. 若直线l 的倾斜角为60◦, 则 △OAF 的面积为 . 5分
5. 5. 已知正方形ABCD 的边长为1, 点E 是AB 边上的动点, 则# » DE · # » CB 的 值为 ; # » DE · # » DC 的最大值为 . 5分
6. 6. 已知f (x) = m (x −2m) (x + m + 3), g (x) = 2x −2. 若同时满足条件: ① ∀x ∈R, f (x) < 0 或g (x) < 0; ②∃x ∈(−∞, −4), f (x) g (x) < 0, 则m 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = (sin x −cos x) sin 2x sin x . (1) 求f (x) 的定义域及最小正周期; (2) 求f (x) 的单调递增区间.
2. 2. 如图1, 在Rt△ABC 中, ∠C = 90◦, BC = 3, AC = 6. D, E 分别是AC, AB 上的点, 且DE BC, DE = 2, 将△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置, 使A1C ⊥CD, 如图2. (1) 求证: A1C ⊥平面BCDE; (2) 若M 是A1D 的中点, 求CM 与平面A1BE 所成角的大小; (3) 线段BC 上是否存在点P, 使平面A1DP 与平面A1BE 垂直? 说明 理由. A B C D E 图1 A1 B C D E 图2 M 717
3. 3. 近年来, 某市为促进生活垃圾的分类处理, 将生活垃圾分为厨余垃圾、可回 收物和其他垃圾三类, 并分别设置了相应的垃圾箱. 为调查居民生活垃圾 分类投放情况, 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000 吨生活垃圾, 数 据统计如下(单位: 吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2) 试估计生活垃圾投放错误的概率; (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量 分别为a, b, c, 其中a > 0, a + b + c = 600. 当数据a, b, c 的方差s2 最大 时, 写出a, b, c 的值(结论不要求证明), 并求此时s2 的值. (注: s2 = 1 n [ (x1 −x)2 + (x2 −x)2 + · · · + (xn −x)2] , 其中x 为数据x1, x2, · · · , xn 的平均数)
4. 4. 已知函数f (x) = ax2 + 1 (a > 0), g (x) = x3 + bx. (1) 若曲线y = f (x) 与曲线y = g (x) 在它们的交点(1, c) 处具有公共切 线, 求a, b 的值; (2) 当a2 = 4b 时, 求函数f (x)+g (x) 的单调区间, 并求其在区间(−∞, −1] 上的最大值.
5. 5. 已知曲线C: (5 −m) x2 + (m −2) y2 = 8 (m ∈R). (1) 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆, 求m 的取值范围; (2) 设m = 4, 曲线C 与y 轴的交点为A, B (点A 位于点B 的上方), 直 线y = kx + 4 与曲线C 交于不同的两点M, N, 直线y = 1 与直线BM 交于点G. 求证: A, G, N 三点共线.
6. 6. 设A 是由m × n 个实数组成的m 行n 列的数表, 满足: 每个数的绝对值 不大于1, 且所有数的和为零. 记S (m, n) 为所有这样的数表构成的集合. 对于A ∈S (m, n), 记ri (A) 为A 的第i 行各数之和(1 ⩽i ⩽m), cj (A) 为A 的第j 列各数之和(1 ⩽j ⩽n); 记k (A) 为|r1 (A) |, |r2 (A) |, · · · , |rm (A) |, |c1 (A) |, |c2 (A) |, · · · , |cn (A) | 中的最小值. (1) 对如下数表A, 求k (A) 的值; 1 1 −0.8 0.1 −0.3 −1 (2) 设数表A ∈S (2, 3) 形如 1 1 c a b −1 求k (A) 的最大值; (3) 给定正整数t, 对于所有的A ∈S (2, 2t + 1), 求k (A) 的最大值. 718

原卷配图（含真实几何/应用题图示）