2012年四川（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年四川（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合A = {a, b}, B = {b, c, d}, 则A ∪B = ( ) 5分
   A. {b} B. {b, c, d} C. {a, c, d} D. {a, b, c, d}
2. 2. (1 + x)7 的展开式中x2 的系数是 ( ) 5分
   A. 21 B. 28 C. 35 D. 42
3. 3. 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员) 对某新法规的知晓情况, 对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查. 假设四个社区驾驶员的总人 数为N, 其中甲社区有驾驶员96 人. 若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾 驶员的人数分别为12, 21, 25, 43, 则这四个社区驾驶员的总人数N 为( ) 5分
   A. 101 B. 808 C. 1212 D. 2012
4. 4. 函数y = ax −a (a > 0, 且a̸ = 1) 的图象可能是 ( ) (A) 1 y 1 x O (B) 1 y 1 x O (C) 1 y 1 x O (D) 1 y 1 x O 5分
5. 5. 如图, 正方形ABCD 的边长为1, 延长BA 至E, 使AE = 1, 连接EC, ED, 则sin ∠CED = ( ) A B C D E √ 10 10 (B) √ 10 10 (C) √ 5 10 (D) √ 5 15 5分
   A. 3
6. 6. 下列命题正确的是 ( ) 行 5分
   A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等, 则这两条直线平行 B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等, 则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面, 则这条直线与这两个平面的交线平 D. 若两个平面都垂直于第三个平面, 则这两个平面平行
7. 7. 设a, b 都是非零向量. 下列四个条件中, 使 a |a| = b |b| 成立的充分条件 是 ( ) b b 5分
   A. |a| = |b| 且a B. a = −b C. a D. a = 2b
8. 8. 若变量x, y 满足约束条件                    x −y ⩾−3, x + 2y ⩽12, 2x + y ⩽12, x ⩾0, y ⩾0, 则z = 3x + 4y 的最大值是( ) 5分
   A. 12 B. 26 C. 28 D. 33
9. 9. 已知抛物线关于x 轴对称, 它的顶点在坐标原点O, 并且经过点M (2, y0). 若点M 到该抛物线焦点的距离为3, 则|OM| = ( ) √ 2 √ 3 √ 5 5分
   A. 2 B. 2 C. 4 D. 2
10. 10. 如图, 半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α 内, 过点O 作平面α 的 垂线交半球面于点A, 过圆O 的直径CD 作与平面α 成45◦角的平面与 半球面相交, 所得交线上到平面α 的距离最大的点为B, 该交线上的一点 P 满足∠BOP = 60◦, 则A, P 两点间的球面距离为 ( ) A B O α C D P √ 2 4 4 √ 3 3 3 5分
    A. R arccos B. πR C. R arccos D. πR
11. 11. 方程ay = b2x2 + c 中的a, b, c ∈{−2, 0, 1, 2, 3}, 且a, b, c 互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中, 不同的抛物线共有 ( ) 5分
    A. 28 条 B. 32 条 C. 36 条 D. 48 条
12. 12. 设函数f (x) = (x −3)3 + x −1, {an} 是公差不为0 的等差数列, ( ) 5分
    F. (a1) + f (a2) + · · · + f (a7) = 14, 则a1 + a2 + · · · + a7 = A. 0 B. 7 C. 14 D. 21

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 函数f (x) = 1 √1 −2x 的定义域是 . (用区间表示) 5分
2. 2. 如图, 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, M, N 分别是CD, CC1 的中点, 则异面直线A1M 与DN 所成角的大小是 . A B C D M N A1 B1 C1 D1 5分
3. 3. 椭圆x2 a2 + y2 5 = 1 (a 为定值, 且a > √ 5) 的左焦点为F, 直线x = m 与椭圆相交于点A、B, △FAB 的周长的最大值是12, 则该椭圆的离心率 是 . 5分
4. 4. 设a, b 为正实数. 现有下列命题: ①若a2 −b2 = 1, 则a −b < 1; ②若1 ③若|√a − √ b| = 1, 则|a −b| < 1; ④若|a3 −b3| = 1, 则|a −b| < 1. 其中的真命题有 . (写出所有真命题的编号) 5分
   B. −1 A. = 1, 则a −b < 1;

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和B, 系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为1 10 和p. (1) 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49 50, 求p 的值; (2) 求系统A 在3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的 次数的概率. 773
2. 2. 已知函数f (x) = cos2 x 2 −sin x 2 cos x 2 −1 2. (1) 求函数f (x) 的最小正周期和值域; (2) 若f (α) = 3 √ 2 10 , 求sin 2α 的值.
3. 3. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, ∠APB = 90◦, ∠PAB = 60◦, AB = BC = CA, 点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上. (1) 求直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值; (2) 求二面角B −AP −C 的余弦值. A B C P O
4. 4. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn, 常数λ > 0, 且λa1an = S1 + Sn 对一 切正整数n 都成立. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设a1 > 0, λ = 100. 当n 为何值时, 数列 { lg 1 an } 的前n 项和最大?
5. 5. 如图, 动点M 与两定点A (−1, 0), B (1, 0) 构成△MAB, 且直线MA, MB 的斜率之积为4. 设动点M 的轨迹为C. (1) 求轨迹C 的方程; (2) 设直线y = x + m (m > 0) 与y 轴相交于点P, 与轨迹C 相交于点Q, R, 且|PQ| < |PR|, 求|PR| |PQ| 的取值范围. x y O A B M
6. 6. 已知a 为正实数, n 为自然数, 抛物线y = −x2 + an 2 与x 轴正半轴相交于 点A. 设f (n) 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. (1) 用a 和n 表示f (n); (2) 求对所有n 都有f (n) −1 n n + 1 成立的a 的最小值; (3) 当0 < a < 1 时, 比较 1 1 1 与6 · f (1) −f (n + 1) 的大小, 并说明理由. 774

原卷配图（含真实几何/应用题图示）