本卷为官方高考数学真题（2012年四川（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. (1 + x)7 的展开式中x2 的系数是
(
) 5分
A. 42
B. 35
C. 28
D. 21
-
2. 复数(1 −i)2
2i
=
(
) 5分
A. 1
B. −1
C. i
D. −i
-
3. 函数f (x) =
x2 −9
x −3 ,
x < 3,
ln (x −2) ,
x ⩾3,
在x = 3 处的极限是
(
) 5分
A. 不存在
B. 等于6
C. 等于3
D. 等于0
-
4. 如图, 正方形ABCD 的边长为1, 延长BA 至E, 使AE = 1, 连接EC,
ED, 则sin ∠CED =
(
)
A
B
C
D
E
√
10
10
(B)
√
10
10
(C)
√
5
10
(D)
√
5
15 5分
A. 3
-
5. 函数y = ax −1
(
)
(A)
1
y
1
x
O
(B)
1
y
1
x
O
(C)
1
y
1
x
O
(D)
1
y
1
x
O 5分
A. (a > 0, a̸ = 1) 的图象可能是
-
6. 下列命题正确的是
(
)
行 5分
A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等, 则这两条直线平行
B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等, 则这两个平面平行
C. 若一条直线平行于两个相交平面, 则这条直线与这两个平面的交线平
D. 若两个平面都垂直于第三个平面, 则这两个平面平行
-
7. 设a, b 都是非零向量. 下列四个条件中, 使
a
|a| =
b
|b| 成立的充分条件
是
(
)
b
b 5分
A. a = −b
B. a
C. a = 2b
D. |a| = |b| 且a
-
8. 已知抛物线关于x 轴对称, 它的顶点在坐标原点O, 并且经过点M (2, y0).
若点M 到该抛物线焦点的距离为3, 则|OM| =
(
)
√
2
√
3
√
5 5分
A. 2
B. 2
C. 4
D. 2
-
9. 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1 桶需耗A 原料1 千
克、B 原料2 千克; 生产乙产品1 桶需耗A 原料2 千克, B 原料1 千克.
每桶甲产品的利润是300 元, 每桶乙产品的利润是400 元. 公司在生产这
两种产品的计划中, 要求每天消耗A, B 原料都不超过12 千克. 通过合理
安排生产计划, 从每天生产的甲、乙两种产品中, 公司共可获得的最大利润
是
(
) 5分
A. 1800 元
B. 2400 元
C. 2800 元
D. 3100 元
-
10. 如图, 半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α 内, 过点O 作平面α 的
垂线交半球面于点A, 过圆O 的直径CD 作与平面α 成45◦角的平面与
半球面相交, 所得交线上到平面α 的距离最大的点为B, 该交线上的一点
P 满足∠BOP = 60◦, 则A, P 两点间的球面距离为
(
)
A
B
O
α
C
D
P
√
2
4
4
√
3
3
3 5分
A. R arccos
B. πR
C. R arccos
D. πR
-
11. 方程ay = b2x2 + c 中的a, b, c ∈{−3, −2, 0, 1, 2, 3}, 且a, b, c 互不相
同, 在所有这些方程所表示的曲线中, 不同的抛物线共有
(
) 5分
A. 60 条
B. 62 条
C. 71 条
D. 80 条
-
12. 设函数f (x) = 2x −cos x, {an} 是公差为π
8 的等差数列, f (a1) + f (a2) +
· · · + f (a5) = 5π, 则[f (a3)]2 −a1a5 =
(
)
16π2
8π2
16π2 5分
A. 0
B. 1
C. 1
D. 13
-
1. 设全集U = {a, b, c, d}, 集合A = {a, b}, B = {b, c, d}, 则
(
∁UA
)
∪
(
∁UB
)
=
. 5分
-
2. 如图, 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, M, N 分别是CD, CC1 的中点,
则异面直线A1M 与DN 所成角的大小是
.
A
B
C
D
M
N
A1
B1
C1
D1 5分
-
3. 椭圆x2
4 + y2
3 = 1 的左焦点为F, 直线x = m 与椭圆相交于点A, B, 当
△FAB 的周长最大时, △FAB 的面积是
. 5分
-
4. 记[x] 为不超过实数x 的最大整数, 例如, [2] = 2, [1.5] = 1, [−0.3] = −1.
设a 为正整数, 数列{xn} 满足x1 = a, xn+1 =
xn +
[ a
xn
]
2
(n ∈N∗),
现有下列命题:
①当a = 5 时, 数列{xn} 的前3 项依次为5, 3, 2;
②对数列{xn} 都存在正整数k, 当n ⩾k 时总有xn = xk;
③当n ⩾1 时, xn > √a −1;
④对某个正整数k, 若xk+1 ⩾xk, 则xn = [√a].
其中的真命题有
. (写出所有真命题的编号) 5分
-
1. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B, 系统A 和
10 和p.
(1) 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49
50, 求p 的值;
(2) 设系统A 在3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,
求ξ 的概率分布列及数学期望Eξ.
771
-
2. 函数f (x) = 6cos2 ωx
2 +
√
3 sin ωx −3 (ω > 0) 在一个周期内的图象如图
所示, A 为图象的最高点, B, C 为图象与x 轴的交点, 且△ABC 为正三
角形.
(1) 求ω 的值及函数f (x) 的值域;
(2) 若f (x0) = 8
√
3
5 , 且x0 ∈
(
−10
3 , 2
3
)
, 求f (x0 + 1) 的值.
x
B
C
y
A
O
-
3. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, ∠APB = 90◦, ∠PAB = 60◦, AB = BC =
CA, 平面PAB ⊥平面ABC.
(1) 求直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值;
(2) 求二面角B −AP −C 的余弦值.
A
B
C
P
-
4. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn, 且a2an = S2 + Sn 对一切正整数n 都
成立.
(1) 求a1, a2 的值;
(2) 设a1 > 0, 数列
{
lg 10a1
an
}
的前n 项和为Tn, 当n 为何值时, Tn 最
大? 并求出Tn 的最大值.
-
5. 如图, 动点M 与两定点A (−1, 0), B (2, 0) 构成△MAB, 且∠MBA =
2∠MAB, 设动点M 的轨迹为C.
(1) 求轨迹C 的方程;
(2) 设直线y = −2x + m 与y 轴相交于点P, 与轨迹C 相交于点Q、R,
且|PQ| < |PR|, 求|PR|
|PQ| 的取值范围.
x
y
O
A
B
M
-
6. 已知a 为正实数, n 为自然数, 抛物线y = −x2 + an
2 与x 轴正半轴相交于
点A, 设f (n) 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.
(1) 用a 和n 表示f (n);
(2) 求对所有n 都有f (n) −1
n3
n3 + 1 成立的a 的最小值;
(3) 当0 < a < 1 时, 比较
n∑
k=1
1
4 · f (1) −f (n)
并说明理由.
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