2012年大纲（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年大纲（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {x | x 是平行四边形}, B = {x | x 是矩形}, C = {x | x 是正 方形}, D = {x | x 是菱形}, 则 ( ) 5分
   A. A ⊆B B. C ⊆B C. D ⊆C D. A ⊆D
2. 2. 函数y = √x + 1 (x ⩾−1) 的反函数为 ( ) 5分
   A. y = x2 −1 (x ⩾0) B. y = x2 −1 (x ⩾1) C. y = x2 + 1 (x ⩾0) D. y = x2 + 1 (x ⩾1)
3. 3. 若函数f (x) = sin x + φ 3 (φ ∈[0, 2π]) 是偶函数, 则φ = ( ) 2 3 2 3 5分
   A. π B. 2π C. 3π D. 5π
4. 4. 已知α 为第二象限角, sin α = 3 5, 则sin 2α = ( ) 25 25 25 25 5分
   A. −24 B. −12 C. 12 D. 24
5. 5. 椭圆的中心在原点, 焦距为4, 一条准线为x = −4, 则该椭圆的方程为( ) 16 + y2 12 = 1 (B) x2 12 + y2 8 = 1 8 + y2 4 = 1 12 + y2 4 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
6. 6. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn, a1 = 1, Sn = 2an+1, 则Sn = ( ) (B) (3 2 )n−1 (C) (2 3 )n−1 (D) 1 2n−1 5分
   A. 2n−1
7. 7. 6 位选手依次演讲, 其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲, 则不同的 演讲次序共有 ( ) 5分
   A. 240 种 B. 360 种 C. 480 种 D. 720 种
8. 8. 已知正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AB = 2, CC1 = 2 √ 2, E 为CC1 的中点, 则直线AC1 到平面BED 的距离为 ( ) (B) √ 3 (C) √ 2 5分
   A. 2 D. 1
9. 9. △ABC 中, AB 边的高为CD, 若# » CB = a, # » CA = b, a · b = 0, |a| = 1, |b| = 2, 则# » AD = ( ) 3a −1 3b 3a −2 3b 5a −3 5b 5a −4 5b 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 10. 已知F1、F2 为双曲线C: x2 −y2 = 2 的左、右焦点, 点P 在C 上, |PF1| = 2|PF2|, 则cos ∠F1PF2 = ( ) 4 5 4 5 5分
    A. 1 B. 3 C. 3 D. 4
11. 11. 已知x = ln π, y = log52, z = e−1 2 , 则 ( ) 5分
    A. x < y < z B. z < x < y C. z < y < x D. y < z < x
12. 12. 正方形ABCD 的边长为1, 点E 在边AB 上, 点F 在边BC 上, AE = BF = 1 3. 动点P 从E 出发沿直线向F 运动, 每当碰到正方形 的边时反弹, 反弹时反射角等于入射角, 当点P 第一次碰到E 时, P 与正 方形的边碰撞的次数为 ( ) 5分
    A. 8 B. 6 C. 4 D. 3

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. ( x + 1 2x )8 的展开式中x2 的系数为 . 5分
2. 2. 若x、y 满足约束条件        x −y + 1 ⩾0, x + y −3 ⩽0, x + 3y −3 ⩾0, 则z = 3x−y 的最小值为 . 5分
3. 3. 当函数y = sin x − √ 3 cos x (0 ⩽x < 2π) 取得最大值时, x = . 5分
4. 4. 已知正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E、F 分别为BB1、CC1 的中点, 那 么异面直线AE 与D1F 所成角的余弦值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. △ABC 的内角A、B、C 成等差数列, 其对边a、b、c 满足2b2 = 3ac, 求 A.
2. 2. 已知数列{an} 中, a1 = 1, 前n 项和Sn = n + 2 3 an. (1) 求a2, a3; (2) 求{an} 的通项公式.
3. 3. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为菱形, PA ⊥底面ABCD, AC = 2 √ 2, PA = 2, E 是PC 上的一点, PE = 2EC. (1) 证明: PC ⊥平面BED; (2) 设二面角A −PB −C 为90◦, 求PD 与平面PBC 所成角的大小. A B C D P E 727
4. 4. 乒乓球比赛规则规定: 一局比赛, 双方比分在10 平前, 一方连续发球2 次 后, 对方再连续发球2 次, 依次轮换. 每次发球, 胜方得1 分, 负方得0 分. 设在甲、乙的比赛中, 每次发球, 发球方得1 分的概率为0.6, 各次发球的 胜负结果相互独立. 甲、乙的一局比赛中, 甲先发球. (1) 求开始第4 次发球时, 甲、乙的比分为1 比2 的概率; (2) 求开始第5 次发球时, 甲得分领先的概率.
5. 5. 已知函数f (x) = 1 3x3 + x2 + ax. (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 设f (x) 有两个极值点x1, x2, 若过两点(x1, f (x1)), (x2, f (x2)) 的直 线l 与x 轴的交点在曲线f (x) 上, 求a 的值.
6. 6. 已知抛物线C: y = (x + 1)2 与圆M: (x −1)2 + ( y −1 2 )2 = r2 (r > 0) 有一个公共点A, 且在A 处两曲线的切线为同一直线l. (1) 求r; (2) 设m、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线, m、n 的交点为D, 求D 到l 的距离. 728

原卷配图（含真实几何/应用题图示）