2012年大纲（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年大纲（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数−1 + 3i 1 + i = ( ) 5分
   A. 2 + i B. 2 −i C. 1 + 2i D. 1 −2i
2. 2. 已知集合A = {1, 3, √m}, B = {1, m}, A ∪B = A, 则m = ( ) √ 3 √ 3 5分
   A. 0 或 B. 0 或3 C. 1 或 D. 1 或3
3. 3. 椭圆的中心在原点, 焦距为4, 一条准线为x = −4, 则该椭圆的方程为( ) 16 + y2 12 = 1 (B) x2 12 + y2 8 = 1 8 + y2 4 = 1 12 + y2 4 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
4. 4. 已知正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AB = 2, CC1 = 2 √ 2, E 为CC1 的中点, 则直线AC1 到平面BED 的距离为 ( ) (B) √ 3 (C) √ 2 5分
   A. 2 D. 1
5. 5. 已知等差数列{an} 前n 项和为Sn. a5 = 5, S5 = 15, 则数列 { 1 anan+1 } 的前100 项和为 ( ) 101 101 100 100 5分
   A. 100 B. 99 C. 99 D. 101
6. 6. △ABC 中, AB 边的高为CD, 若# » CB = a, # » CA = b, a · b = 0, |a| = 1, |b| = 2, 则# » AD = ( ) 3a −1 3b 3a −2 3b 5a −3 5b 5a −4 5b 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 7. 已知α 为第二象限角, sin α + cos α = √ 3 3 , 则cos 2α = ( ) √ 5 3 √ 5 9 (C) √ 5 9 (D) √ 5 3 5分
   A. − B. −
8. 8. 已知F1、F2 为双曲线C: x2 −y2 = 2 的左、右焦点, 点P 在C 上, |PF1| = 2|PF2|, 则cos ∠F1PF2 = ( ) 4 5 4 5 5分
   A. 1 B. 3 C. 3 D. 4
9. 9. 已知x = ln π, y = log52, z = e−1 2 , 则 ( ) 5分
   A. x < y < z B. z < x < y C. z < y < x D. y < z < x
10. 10. 已知函数y = x3 −3x + c 的图象与x 轴恰有两个公共点, 则c = ( ) 5分
    A. −2 或2 B. −9 或3 C. −1 或1 D. −3 或1
11. 11. 将字母a, a, b, b, c, c 排成三行两列, 要求每行的字母互不相同, 每列的字 母也互不相同, 则不同的排列方法共有 ( ) 5分
    A. 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 36 种
12. 12. 正方形ABCD 的边长为1, 点E 在边AB 上, 点F 在边BC 上, AE = BF = 3 7. 动点P 从E 出发沿直线向F 运动, 每当碰到正方形 的边时反弹, 反弹时反射角等于入射角, 当点P 第一次碰到E 时, P 与正 方形的边碰撞的次数为 ( ) 5分
    A. 16 B. 14 C. 12 D. 10

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若x、y 满足约束条件        x −y + 1 ⩾0, x + y −3 ⩽0, x + 3y −3 ⩾0, 则z = 3x−y 的最小值为 . 5分
2. 2. 当函数y = sin x − √ 3 cos x (0 ⩽x < 2π) 取得最大值时, x = . 5分
3. 3. 若 ( x + 1 x )n 的展开式中第3 项与第7 项的二项式系数相等, 则该展开式 中1 x2 的系数为 . 5分
4. 4. 三棱柱ABC −A1B1C1 中, 底面边长和侧棱长都相等, ∠BAA1 = ∠CAA1 = 60◦, 则异面直线AB1 与BC1 所成角的余弦值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. △ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c, 已知cos (A −C)+cos B = 1,
2. 2. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为菱形, PA ⊥底面ABCD, AC = 2 √ 2, PA = 2, E 是PC 上的一点, PE = 2EC. (1) 证明: PC ⊥平面BED; (2) 设二面角A −PB −C 为90◦, 求PD 与平面PBC 所成角的大小. A B C D P E
3. 3. 乒乓球比赛规则规定: 一局比赛, 双方比分在10 平前, 一方连续发球2 次 后, 对方再连续发球2 次, 依次轮换. 每次发球, 胜方得1 分, 负方得0 分. 设在甲、乙的比赛中, 每次发球, 发球方得1 分的概率为0.6, 各次发球的 胜负结果相互独立. 甲、乙的一局比赛中, 甲先发球. (1) 求开始第4 次发球时, 甲、乙的比分为1 比2 的概率; (2) ξ 表示开始第4 次发球时乙的得分, 求ξ 的期望. 725
4. 4. 设函数f (x) = ax + cos x, x ∈[0, π]. (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 设f (x) ⩽1 + sin x, 求a 的取值范围.
5. 5. 已知抛物线C: y = (x + 1)2 与圆M: (x −1)2 + ( y −1 2 )2 = r2 (r > 0) 有一个公共点A, 且在A 处两曲线的切线为同一直线l. (1) 求r; (2) 设m、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线, m、n 的交点为 D, 求D 到l 的距离.
6. 6. 函数f (x) = x2 −2x −3, 定义数列{xn} 如下: x1 = 2, xn+1 是过两点 P (4, 5), Qn (xn, f (xn)) 的直线PQn 与x 轴交点的横坐标. (1) 证明: 2 ⩽xn < xn+1 < 3; (2) 求数列{xn} 的通项公式. 726

原卷配图（含真实几何/应用题图示）