2012年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年天津（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. i 是虚数单位, 复数5 + 3i 4 −i = ( ) 5分
   A. 1 −i B. −1 + i C. 1 + i D. −1 −i
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        2x + y −2 ⩾0, x −2y + 4 ⩾0, x −1 ⩽0, 则目标函数z = 3x −2y 的 最小值为 ( ) 5分
   A. −5 B. −4 C. −2 D. 3
3. 3. 阅读如图程序框图, 运行相应的程序, 则输出S 的值为 ( ) 开始 n = 1, S = 0 S = S + 3n −3n−1 n = n + 1 n ⩾4? 输出S 结束 是 否 5分
   A. 8 B. 18 C. 26 D. 80
4. 4. 已知a = 21.2, b = (1 2 )−0.8 , c = 2 log5 2, 则a, b, c 的大小关系为 ( ) 5分
   A. c < b < a B. c < a < b C. b < a < c D. b < c < a
5. 5. 设x ∈R, 则“x > 1 2”是“2x2 + x −1 > 0”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 6. 下列函数中, 既是偶函数, 又在区间(1, 2) 内是增函数的为 ( ) 2 , x ∈R 5分
   A. y = cos 2x, x ∈R B. y = log2 |x|, x ∈R 且x̸ = 0 C. y = ex −e−x D. y = x3 + 1, x ∈R
7. 7. 将函数f (x) = sin ωx (其中ω > 0) 的图象向右平移π 4 个单位长度, 所得 图象经过点 (3π 4 , 0 ) , 则ω 的最小值是 ( ) 3 3 5分
   A. 1 B. 1 C. 5 D. 2
8. 8. 在△ABC 中, ∠A = 90◦, AB = 1, AC = 2. 设点P, Q 满足# » AP = λ# » AB, # » AQ = (1 −λ) # » AC, λ ∈R. 若# » BQ · # » CP = −2, 则λ = ( ) 3 3 3 5分
   A. 1 B. 2 C. 4 D. 2

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 集合A = {x ∈R | |x −2| ⩽5} 中的最小整数为 . 5分
2. 2. 一个几何体的三视图如图所示(单位: m), 则该几何体的体积为 m3. 1 1 1 1 1 3 4 2 4 2 俯视图 正视图 侧视图 5分
3. 3. 已知双曲线C1: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 与双曲线C2: x2 4 −y2 16 = 1 有 相同的渐近线, 且C1 的右焦点为F (√ 5, 0 ) , 则a = , b = . 5分
4. 4. 设m, n ∈R, 若直线l: mx + ny −1 = 0 与x 轴相交于点A, 与y 轴相 交于点B, 且l 与圆x2 + y2 = 4 相交所得弦的长为2, O 为坐标原点, 则 △AOB 面积的最小值为 . 5分
5. 5. 如图, 已知AB 和AC 是圆的两条弦, 过点B 作圆的切线与AC 的延长线 相交于点D. 过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E, 与AB 相交于点 F, AF = 3, FB = 1, EF = 3 2, 则线段CD 的长为 . A D B C E F 5分
6. 6. 已知函数y = |x2 −1| x −1 的图象与函数y = kx 的图象恰有两个交点, 则实 数k 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某地区有小学21 所, 中学14 所, 大学7 所, 现采用分层抽样的方法从这 些学校中抽取6 所学校对学生进行视力调查. (1) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2) 若从抽取的6 所学校中随机抽取2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的2 所学校均为小学的概率.
2. 2. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c. 已知a = 2, c = √ 2, cos A = − √ 2 4 . (1) 求sin C 和b 的值; (2) 求cos ( 2A + π 3 ) 的值. 777
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 是矩形, AD ⊥PD, BC = 1, PC = 2 √ 3, PD = CD = 2. (1) 求异面直线PA 与BC 所成角的正切值; (2) 证明: 平面PDC ⊥平面ABCD; (3) 求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值. A B C D P
4. 4. 已知{an} 是等差数列, 其前n 项和为Sn, {bn} 是等比数列, 且 a1 = b1 = 2, a4 + b4 = 27, S4 −b4 = 10. (1) 求数列{an} 与{bn} 的通项公式; (2) 记Tn = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn, n ∈N∗, 证明: Tn −8 = an−1bn+1 (n ∈N∗, n > 2).
5. 5. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), 点P (√ 5 5 a, √ 2 2 a ) 在椭圆上. (1) 求椭圆的离心率; (2) 设A 为椭圆的左顶点, O 为坐标原点. 若点Q 在椭圆上且满足 |AQ| = |AO|, 求直线OQ 的斜率的值.
6. 6. 已知函数f (x) = 1 3x3 + 1 −a 2 x2 −ax −a, x ∈R, 其中a > 0. (1) 求函数f (x) 的单调区间; (2) 若函数f (x) 在区间(−2, 0) 内恰有两个零点, 求a 的取值范围; (3) 当a = 1 时, 设函数f (x) 在区间[t, t + 3] 上的最大值为M (t), 最小 值为m (t), 记g (t) = M (t) −m (t), 求函数g (t) 在区间[−3, −1] 上的最 小值. 778

原卷配图（含真实几何/应用题图示）