2012年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年天津（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. i 是虚数单位, 复数7 −i 3 + i = ( ) 5分
   A. 2 + i B. 2 −i C. −2 + i D. −2 −i
2. 2. 设φ ∈R, 则“φ=0”是“f (x) = cos (x + φ) (x ∈R) 为偶函数”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 当输入x 的值为−25 时, 输 出x 的值为 ( ) 开始 输入x |x| > 1? x = √ |x| −1 x = 2x + 1 输出x 结束 是 否 5分
   A. −1 B. 1 C. 3 D. 9
4. 4. 函数f (x) = 2x+x3 −2 在区间(0, 1) 内的零点个数是 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 5. 在 ( 2x2 −1 x )5 的二项展开式中, x 的系数为 ( ) 5分
   A. 10 B. −10 C. 40 D. −40
6. 6. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c, 已知8b = 5c, C=2B, 则cos C = ( ) 25 25 25 25 5分
   A. 7 B. −7 C. ± 7 D. 24
7. 7. 已知△ABC 为等边三角形, AB = 2, 设点P, Q 满足# » AP = λ# » AB, # » AQ = (1 −λ) # » AC, λ ∈R, 若# » BQ · # » CP = −3 2, 则λ = ( ) 2 √ 2 2 √ 10 2 √ 2 2 5分
   A. 1 B. 1 ± C. 1 ± D. −3 ± 2
8. 8. 设m, n ∈R, 若直线(m + 1) x+ (n + 1) y−2=0 与圆(x −1)2+(y −1)2 = 1 相切, 则m+n 的取值范围是 ( ) (A) [ 1 − √ 3, 1 + √ 3 ] (B) ( −∞, 1 − √ 3 ] ∪ [ 1 + √ 3, +∞ ) (C) [ 2 −2 √ 2, 2 + 2 √ 2 ] (D) ( −∞, 2 −2 √ 2 ] ∪ [ 2 + 2 √ 2, +∞ ) 5分

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 某地区有小学150 所, 中学75 所, 大学25 所. 现采用分层抽样的方法从这 些学校中抽取30 所学校对学生进行视力调査, 应从小学中抽取 所 学校, 中学中抽取 所学校. 5分
2. 2. 一个几何体的三视图如图所示(单位: m), 则该几何体的体积为 m3. 6 3 1 3 俯视图 正视图 侧视图 3 2 3 2 5分
3. 3. 已知集合A = {x ∈R | |x + 2| < 3}, 集合B = {x ∈R | (x −m)(x −2) < 0}, 且A ∩B = (−1, n), 则m = , n = . 5分
4. 4. 已知抛物线的参数方程为 { x = 2pt2, y = 2pt, (t 为参数), 其中p > 0, 焦点为F, 准线为l, 过抛物线上一点M 作l 的垂线, 垂足为E, 若|EF| = |MF|, 点 M 的横坐标是3, 则p = . 5分
5. 5. 如图, 已知AB 和AC 是圆的两条弦, 过点B 作圆的切线与AC 的延长线 相交于点D. 过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E, 与AB 相交于点 F, AF = 3, FB = 1, EF = 3 2, 则线段CD 的长为 . A D B C E F 5分
6. 6. 已知函数y = |x2 −1| x −1 的图象与函数y = kx −2 的图象恰有两个交点, 则 实数k 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = sin ( 2x + π 3 ) + sin ( 2x −π 3 ) + 2 cos2 x −1, x ∈R. (1) 求函数f (x) 的最小正周期; (2) 求函数f (x) 在区间 [ −π 4 , π 4 ] 上的最大值和最小值.
2. 2. 有4 个人去参加某娱乐活动, 该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择. 为 增加趣味性, 约定: 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪 个游戏, 掷出点数为1 或2 的人去参加甲游戏, 掷出点数大于2 的人去参 加乙游戏. (1) 求这4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率; (2) 求这4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3) 用X, Y 分别表示这4 个人中去参加甲、乙游戏的人数, 记ξ = |X −Y |, 求随机变量ξ 的分布列与数学期望Eξ. 775
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥平面ABCD, AC ⊥AD, AB ⊥BC, ∠BAC = 45◦, PA = AD = 2, AC = 1. (1) 证明PC ⊥AD; (2) 求二面角A −PC −D 的正弦值; (3) 设E 为棱PA 上的点, 满足异面直线BE 与CD 所成的角为30◦, 求 AE 的长. A B C P D
4. 4. 已知{an} 是等差数列, 其前n 项和为Sn, {bn} 是等比数列, 且 a1 = b1 = 2, a4 + b4 = 27, S4 −b4 = 10. (1) 求数列{an} 与{bn} 的通项公式; (2) 记Tn = anb1+an−1b2+· · ·+a1bn, n ∈N∗, 证明Tn+12 = −2an+10bn (n ∈N∗).
5. 5. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右顶点分别为A, B, 点P 在椭圆 上且异于A, B 两点, O 为坐标原点. (1) 若直线AP 与BP 的斜率之积为−1 2, 求椭圆的离心率; (2) 若|AP| = |OA|, 证明直线OP 的斜率k 满足|k| > √ 3.
6. 6. 已知函数f (x) = x −ln (x + a) 的最小值为0, 其中a > 0. (1) 求a 的值; (2) 若对任意的x ∈[0, +∞), 有f (x) ⩽kx2 成立, 求实数k 的最小值; (3) 证明: n∑ i=1 2 2i −1 −ln (2n + 1) < 2 (n ∈N∗). 776

原卷配图（含真实几何/应用题图示）