2012年安徽（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年安徽（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 复数z 满足(z −i) i = 2 + i, 则z = ( ) 5分
   A. −1 −i B. 1 −i C. −1 + 3i D. 1 −2i
2. 2. 设集合A = {x | −3 ⩽2x −1 ⩽3}, 集合B 为函数y = lg (x −1) 的定义 域, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. (1, 2) B. [1, 2] C. [1, 2) D. (1, 2]
3. 3. log29 · log34 = ( ) 4 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 4
4. 4. 命题“存在实数x, 使x > 1”的否定是 ( ) 5分
   A. 对任意实数x, 都有x > 1 B. 不存在实数x, 使x ⩽1 C. 对任意实数x, 都有x ⩽1 D. 存在实数x, 使x ⩽1
5. 5. 公比为2 的等比数列{an} 的各项都是正数, 且a3a11 = 16, 则a5 = 5分
   A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
6. 6. 如图所示, 程序框图(算法流程图) 的输出结果是 ( ) 开始 x = 1, y = 1 x ⩽4? x = 2x, y = y + 1 输出y 结束 否 是 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
7. 7. 要得到函数y = cos (2x + 1) 的图象, 只要将函数y = cos 2x 的图象 ( ) 2 个单位 2 个单位 5分
   A. 向左平移1 个单位 B. 向右平移1 个单位 C. 向左平移1 D. 向右平移1
8. 8. 若x, y 满足约束条件        x ⩾0, x + 2y ⩾3, 2x + y ⩽3, 则z = x −y 的最小值是 ( ) 2 5分
   A. −3 B. 0 C. 3 D. 3
9. 9. 若直线x −y + 1 = 0 与圆(x −a)2 + y2 = 2 有公共点, 则实数a 的取值 范围是 ( ) 5分
   A. [−3, −1] B. [−1, 3] C. [−3, 1] D. (−∞, −3] ∪[1, +∞)
10. 10. 袋中共有6 个除了颜色外完全相同的球, 其中有1 个红球、2 个白球和3 个黑球. 从袋中任取两球, 两球颜色为一白一黑的概率等于 ( ) 5 5 5 5 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 设向量a = (1, 2m), b = (m + 1, 1), c = (2, m), 若(a + c) ⊥b, 则 |a| = . 5分
2. 2. 某几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积是 . 俯视图 正(主) 视图 侧(左) 视图 4 4 2 5 5分
3. 3. 若函数f (x) = |2x + a| 的单调递增区间是[3, +∞), 则a = . 5分
4. 4. 过抛物线y2 = 4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A, B 两点, 若|AF| = 3, 则|BF| = . 5分
5. 5. 若四面体ABCD 的三组对棱分别相等, 即AB = CD, AC = BD, AD = BC, 则 . (写出所有正确结论编号) ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直; ②四面体ABCD 每个面的面积相等; ③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90◦而小于 180◦; ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分; ⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边 长. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设△ABC 的内角A, B, C 所对的边为a, b, c, 且有2 sin B cos A = sin A cos C + cos A sin C. (1) 求角A 的大小; (2) 若b = 2, c = 1, D 为BC 的中点, 求AD 的长.
2. 2. 设定义在(0, +∞) 上的函数f (x) = ax + 1 ax + b (a > 0). (1) 求f (x) 的最小值; (2) 若曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为y = 3 2x, 求a, b 的值.
3. 3. 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm 时, 则视为合格品, 否则视为不合格品. 在近期一次产品抽样检查中, 从某厂生产的此种产品 中, 随机抽取5000 件进行检测, 结果发现有50 件不合格品. 计算这50 件 不合格品的直径长与标准值的差(单位: mm), 将所得数据分组, 得到如下 频率分布表: 分组 频数 频率 [−3, −2) 0.10 [−2, −1) 8 (1, 2] 0.50 (2, 3] 10 (3, 4] 合计 50 1.00 (1) 将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置; (2) 估计该厂生产的此种产品中, 不合格品的直径长与标准值的差落在区 间(1, 3] 内的概率; (3) 现对该厂这种产品的某个批次进行检查, 结果发现有20 件不合格品. 据此估算这批产品中的合格品的件数. 715
4. 4. 如图, 长方体ABCD −A1B1C1D1 中, 底面A1B1C1D1 是正方形, O 是 BD 的中点, E 是棱AA1 上任意一点. (1) 证明: BD ⊥EC1; (2) 如果AB = 2, AE = √ 2, OE ⊥EC1, 求AA1 的长. A B C D O E A1 B1 C1 D1
5. 5. 如图, F1, F2 分别是椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点, A 是 椭圆C 的顶点, B 是直线AF2 与椭圆C 的另一个交点, ∠F1AF2 = 60◦. (1) 求椭圆C 的离心率; (2) 已知△AF1B 面积为40 √ 3, 求a, b 的值. x y O A B F1 F2
6. 6. 设函数f (x) = x 2 +sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}. (1) 求数列{xn} 的通项公式; (2) 设{xn} 的前n 项和为Sn, 求sin Sn. 716

原卷配图（含真实几何/应用题图示）