2012年安徽（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年安徽（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 复数z 满足(z −i) (2 −i) = 5, 则z = ( ) 5分
   A. −2 −2i B. −2 + 2i C. 2 −2i D. 2 + 2i
2. 2. 下列函数中, 不满足f (2x) = 2f (x) 的是 ( ) 5分
   A. f (x) = |x| B. f (x) = x −|x|(C) f (x) = x + 1 (D) f (x) = −x
3. 3. 如图所示, 程序框图(算法流程图) 的输出结果是 ( ) 开始 x = 1, y = 1 x ⩽4? x = 2x, y = y + 1 输出y 结束 否 是 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
4. 4. 公比为 3√ 2 的等比数列{an} 的各项都是正数, 且a3a11 = 16, 则 log2a16 = ( ) 5分
   A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 5. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5 次, 两人成绩的条形统计图如图所 示, 则 ( ) 环数 频数 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 O (甲) 环数 频数 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 O (乙) 5分
   A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
6. 6. 设平面α 与平面β 相交于直线m, 直线a 在平面α 内, 直线b 在平面β 内, 且b ⊥m, 则“α ⊥β”是“a ⊥b”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. (x2 + 2) ( 1 x2 −1 )5 的展开式的常数项是 ( ) 5分
   A. −3 B. −2 C. 2 D. 3
8. 8. 在平面直角坐标系中, 点O (0, 0), P (6, 8), 将向量# » OP 绕点O 按逆时针方 向旋转3π 4 后得向量# » OQ, 则点Q 的坐标是 ( ) (A) ( −7 √ 2, − √ 2 ) (B) ( −7 √ 2, √ 2 ) (C) ( −4 √ 6, −2 ) (D) ( −4 √ 6, 2 ) 5分
9. 9. 过抛物线y2 = 4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A, B 两点, O 为坐标原 点. 若|AF| = 3, 则△AOB 的面积为 ( ) (A) √ 2 2 (B) √ 2 √ 2 2 √ 2 5分
   C. 3 D. 2
10. 10. 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换, 任意两位同学之间最多交 换一次, 进行交换的两位同学互赠一份纪念品. 已知6 位同学之间共进行 了13 次交换, 则收到4 份纪念品的同学人数为 ( ) 5分
    A. 1 或3 B. 1 或4 C. 2 或3 D. 2 或4

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 若x, y 满足约束条件        x ⩾0, x + 2y ⩾3, 2x + y ⩽3, 则x −y 的取值范围是 . 5分
2. 2. 某几何体的三视图如图所示, 该几何体的表面积是 . 俯视图 正(主) 视图 侧(左) 视图 4 4 2 5 5分
3. 3. 在极坐标系中, 圆ρ = 4 sin θ 的圆心到直线θ = π 6 (ρ ∈R) 的距离 是 . 5分
4. 4. 若平面向量a, b 满足|2a −b| ⩽3, 则a · b 的最小值是 . 5分
5. 5. 设△ABC 的内角A, B, C 所对边的长分别为a, b, c, 则下列命题正确的 是 . (写出所有正确命题的编号) ①若ab > c2, 则C < π 3 ; ②若a + b > 2c, 则C < π 3 ; ③若a3 + b3 = c3, 则C < π 2 ; ④若(a + b) c < 2ab, 则C > π 2 ; ⑤若(a2 + b2) c2 < 2a2b2, 则C > π 3 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f (x) = √ 2 2 cos ( 2x + π 4 ) + sin2 x. (1) 求f (x) 的最小正周期; (2) 设函数g (x) 对任意x ∈R, 有g ( x + π 2 ) = g (x), 且当x ∈ [ 0, π 2 ] 时, 2 −f (x). 求g (x) 在区间[−π, 0] 上的解析式.
2. 2. 某单位招聘面试, 每次从试题库中随机调用一道试题. 若调用的是A 类型 试题, 则使用后该试题回库, 并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入 库, 此次调题工作结束; 若调用的是B 类型试题, 则使用后该试题回库, 此 次调题工作结束. 试题库中现共有n + m 道试题, 其中有n 道A 类型试题 和m 道B 类型试题. 以X 表示两次调题工作完成后, 试题库中A 类试题 的数量. (1) 求X = n + 2 的概率; (2) 设m = n, 求X 的分布列和均值(数学期望). 713
3. 3. 平面图形ABB1A1C1C 如图1 所示, 其中BB1C1C 是矩形, BC = 2, BB1 = 4, AB = AC = √ 2, A1B1 = A1C1 = √ 5. 现将该平面图形分别沿 BC 和B1C1 折叠, 使△ABC 与△A1B1C1 所在平面都与平面BB1C1C 垂直, 再分别连接A1A, A1B, A1C, 得到如图2 所示的空间图形, 对此空 间图形解答下列问题. (1) 证明: AA1 ⊥BC; (2) 求AA1 的长; (3) 求二面角A −BC −A1 的余弦值. A B C B1 A1 图1 C1 A B C B1 A1 图2 C1
4. 4. 设函数f (x) = aex + 1 aex + b (a > 0). (1) 求f (x) 在[0, +∞) 内的最小值; (2) 设曲线y = f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线方程为y = 3 2x, 求a, b 的值.
5. 5. 如图, 点F1 (−c, 0), F2 (c, 0) 分别是椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的 左、右焦点, 过点F1 作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P, 过点F2 作直线PF2 的垂线交直线x = a2 (1) 如果点Q 的坐标是(4, 4), 求此时椭圆C 的方程; (2) 证明: 直线PQ 与椭圆C 只有一个交点. x y O P Q F1 F2
6. 6. 数列{xn} 满足x1 = 0, xn+1 = −x2 n + xn + c (n ∈N∗). (1) 证明: {xn} 是递减数列的充分必要条件是c < 0; (2) 求c 的取值范围, 使{xn} 是递增数列. 714

原卷配图（含真实几何/应用题图示）