2012年山东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年山东（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若复数z 满足z (2 −i) = 11 + 7i (i 为虚数单位), 则z 为 ( ) 5分
   A. 3 + 5i B. 3 −5i C. −3 + 5i D. −3 −5i
2. 2. 已知全集U = {0, 1, 2, 3, 4}, 集合A = {1, 2, 3}, B = {2, 4}, 则 ( ∁UA ) ∪B = ( ) 5分
   A. {1, 2, 4} B. {2, 3, 4} C. {0, 2, 4} D. {0, 2, 3, 4}
3. 3. 函数f (x) = 1 ln (x + 1) + √ 4 −x2 的定义域为 ( ) 5分
   A. [−2, 0) ∪(0, 2] B. (−1, 0) ∪(0, 2] C. [−2, 2] D. (−1, 2]
4. 4. 在某次测量中得到的A 样本数据如下: 82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88. 若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2 后所得数据, 则A, B 两 样本的下列数字特征对应相同的是 ( ) 5分
   A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差
5. 5. 设命题p: 函数y = sin 2x 的最小正周期为π 2 ; 命题q: 函数y = cos x 的 图象关于直线x = π 2 对称. 则下列判断正确的是 ( ) 5分
   A. p 为真 B. ¬q 为假 C. p ∧q 为假 D. p ∨q 为真
6. 6. 设变量x, y 满足约束条件        x + 2y ⩾2, 2x + y ⩽4, 4x −y ⩾−1, 则目标函数z = 3x −y 的取值 范围是 ( ) (A) [ −3 2, 6 ] (B) [ −3 2, −1 ] (D) [ −6, 3 2 ] 5分
   C. [−1, 6]
7. 7. 执行如图所示的程序框图, 如果输入a = 4, 那么输出的n 的值为 ( ) 开始 输入a P = 0, Q = 1, n = 0 P ⩽Q P = P + an Q = 2Q + 1 n = n + 1 输出n 结束 是 否 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 8. 函数y = 2 sin (πx 6 −π 3 ) (0 ⩽x ⩽9) 的最大值与最小值之和为 ( ) √ 3 √ 3 5分
   A. 2 − B. 0 C. −1 D. −1 −
9. 9. 圆(x + 2)2 + y2 = 4 与圆(x −2)2 + (y −1)2 = 9 的位置关系为 ( ) 5分
   A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
10. 10. 函数f (x) = cos 6x 2x −2−x 的图象大致为 ( ) (A) y x O (B) y x O (C) y x O (D) y x O 5分
11. 11. 已知双曲线C1: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为2, 若抛物线C2: x2 = 2py (p > 0) 的焦点到双曲线C1 的渐近线的距离为2, 则抛物线C2 的方程为 ( ) √ 3 3 y √ 3 3 y 5分
    A. x2 = 8 B. x2 = 16 C. x2 = 8y D. x2 = 16y
12. 12. 设函数f (x) = 1 x, g (x) = −x2 + bx. 若y = f (x) 的图象与y = g (x) 的 图象有且仅有两个不同的公共点A (x1, y1), B (x2, y2), 则下列判断正确的 是 ( ) 5分
    A. x1 + x2 > 0, y1 + y2 > 0 B. x1 + x2 > 0, y1 + y2 < 0 C. x1 + x2 < 0, y1 + y2 > 0 D. x1 + x2 < 0, y1 + y2 < 0

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 如图, 正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱长为1, E 为线段B1C 上的一点, 则三棱锥A −DED1 的体积为 . A B E C D A1 B1 C1 D1 5分
2. 2. 如图是根据部分城市某年6 月份的平均气温(单位: ◦C) 数据得到的样本 频率分布直方图, 其中平均气温的范围是[20.5, 26.5], 样本数据的分组为 [20.5, 21.5), [21.5, 22.5), [22.5, 23.5), [23.5, 24.5), [24.5, 25.5), [25.5, 26.5]. 已知样本中平均气温低于22.5 ◦C 的城市个数为11, 则样本中平均气温不 低于25.5 ◦C 的城市个数为 . 频率 组距 0 平均气温/◦C 0.10 0.12 0.26 0.22 0.18 20.5 21.5 22.5 23.5 24.5 25.5 26.5 5分
3. 3. 若函数f (x) = ax (a > 0, 且a̸ = 1) 在[−1, 2] 上的最大值为4, 最小值为 m, 且函数g (x) = (1 −4m) √x 在[0, +∞) 上是增函数, 则a = . 5分
4. 4. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 一单位圆的圆心的初始位置在(0, 1), 此 时圆上一点P 的位置在(0, 0), 圆在x 轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心 位于(2, 1) 时, # » OP 的坐标为 . 1 P y x 1 2 O • • 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 已知 sin B (tan A + tan C) = tan A tan C. (1) 求证: a, b, c 成等比数列; (2) 若a = 1, c = 2, 求△ABC 的面积S. 761
2. 2. 袋中有五张卡片, 其中红色卡片三张, 标号分别为1, 2, 3; 蓝色卡片两张, 标号分别为1, 2. (1) 从以上五张卡片中任取两张, 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4 的概率; (2) 现袋中再放入一张标号为0 的绿色卡片, 从这六张卡片中任取两张, 求 这两张卡片颜色不同且标号之和小于4 的概率.
3. 3. 如图, 几何体E −ABCD 是四棱锥, △ABD 为正三角形, CB = CD, EC ⊥BD. (1) 求证: BE = DE; (2) 若∠BCD = 120◦, M 为线段AE 的中点, 求证: DM 平面BEC. A B C E D
4. 4. 已知等差数列{an} 的前5 项和为105, 且a10 = 2a5. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 对任意m ∈N∗, 将数列{an} 中不大于72m 的项的个数记为bm. 求数 列{bm} 的前m 项和Sm.
5. 5. 如图, 椭圆M: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 3 2 , 直线x = ±a 和 y = ±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8. (1) 求椭圆M 的标准方程; (2) 设直线l: y = x + m (m ∈R) 与椭圆M 有两个不同的交点P, Q, l 与 矩形ABCD 有两个不同的交点S, T. 求|PQ| |ST| 的最大值及取得最大值时 m 的值. x y O A B C D
6. 6. 已知函数f (x) = ln x + k ex (k 为常数, e = 2.71828 · · · 是自然对数的底数), 曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线与x 轴平行. (1) 求k 的值; (2) 求f (x) 的单调区间; (3) 设g (x) = xf ′ (x), 其中f ′ (x) 为f (x) 的导函数. 证明: 对任意x > 0, 762

原卷配图（含真实几何/应用题图示）