2012年山东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年山东（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若复数z 满足z (2 −i) = 11 + 7i (i 为虚数单位), 则z 为 ( ) 5分
   A. 3 + 5i B. 3 −5i C. −3 + 5i D. −3 −5i
2. 2. 已知全集U = {0, 1, 2, 3, 4}, 集合A = {1, 2, 3}, B = {2, 4}, 则 ( ∁UA ) ∪B = ( ) 5分
   A. {1, 2, 4} B. {2, 3, 4} C. {0, 2, 4} D. {0, 2, 3 4}
3. 3. 设a > 0 且a̸ = 1, 则“函数f (x) = ax 在R 上是减函数”是“函数 ( ) 5分
   G. (x) = (2 −a) x3 在R 上是增函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 采用系统抽样方法从960 人中抽取32 人做问卷调查. 为此将他们随机编 号为1, 2, · · · , 960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码 为9. 抽到的32 人中, 编号落入区间[1, 450] 的人做问卷A, 编号落入区间 [451, 750] 的人做问卷B, 其余的人做问卷C. 则抽到的人中, 做问卷B 的 人数为 ( ) 5分
   A. 7 B. 9 C. 10 D. 15
5. 5. 设变量x, y 满足约束条件        x + 2y ⩾2, 2x + y ⩽4, 4x −y ⩾−1, 则目标函数z = 3x −y 的取值 范围是 ( ) (A) [ −3 2, 6 ] (B) [ −3 2, −1 ] (D) [ −6, 3 2 ] 5分
   C. [−1, 6]
6. 6. 执行如图所示的程序框图, 如果输入a = 4, 那么输出的n 的值为 ( ) 开始 输入a P = 0, Q = 1, n = 0 P ⩽Q P = P + an Q = 2Q + 1 n = n + 1 输出n 结束 是 否 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 7. 若θ ∈ [π 4 , π 2 ] , sin 2θ = 3 √ 7 8 , 则sin θ = ( ) 5 5 (C) √ 7 4 4 5分
   A. 3 B. 4 D. 3
8. 8. 定义在R 的函数f (x) 满足f (x + 6) = f (x). 当−3 ⩽x < −1 时, ( ) 5分
   F. (x) = −(x + 2)2; 当−1 ⩽x < 3 时, f (x) = x. 则f (1) + f (2) + · · · + F. (2012) = A. 335 B. 338 C. 1678 D. 2012
9. 9. 函数f (x) = cos 6x 2x −2−x 的图象大致为 ( ) (A) y x O (B) y x O (C) y x O (D) y x O 5分
10. 10. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 3 2 . 双曲线x2 −y2 = 1 的渐近线与椭圆C 有四个交点, 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16, 则椭圆C 的方程为 ( ) 8 + y2 2 = 1 (B) x2 12 + y2 6 = 1 16 + y2 4 = 1 20 + y2 5 = 1 5分
    A. x2 C. x2 D. x2
11. 11. 现有16 张不同的卡片, 其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张, 从中任 取3 张. 要求这3 张卡片不能是同一种颜色, 且红色卡片至多1 张. 不同 的取法种数为 ( ) 5分
    A. 232 B. 252 C. 472 D. 484
12. 12. 设函数f (x) = 1 x, g (x) = ax2 + bx (a, b ∈R, a̸ = 0). 若y = f (x) 的图 象与y = g (x) 图象有且仅有两个不同的公共点A (x1, y1), B (x2, y2), 则下 列判断正确的是 ( ) 5分
    A. 当a < 0 时, x1 + x2 < 0, y1 + y2 > 0 B. 当a < 0 时, x1 + x2 > 0, y1 + y2 < 0 C. 当a > 0 时, x1 + x2 < 0, y1 + y2 < 0 D. 当a > 0 时, x1 + x2 > 0, y1 + y2 > 0

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若不等式|kx −4| ⩽2 的解集为{x | 1 ⩽x ⩽3}, 则实数k = . 5分
2. 2. 如图, 正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱长为1, E, F 分别为线段AA1, B1C 上的点, 则三棱锥D1 −EDF 的体积为 . A B F E C D A1 B1 C1 D1 5分
3. 3. 设a > 0, 若曲线y = √x 与直线x = a, y = 0 所围成封闭图形的面积为 a2, 则a = . 5分
4. 4. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 一单位圆的圆心的初始位置在(0, 1), 此 时圆上一点P 的位置在(0, 0), 圆在x 轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心 位于(2, 1) 时, # » OP 的坐标为 . 1 P y x 1 2 O • • 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知向量m = (sin x, 1), n = (√ 3A cos x, A 2 cos 2x ) (1) 求A; (2) 将函数y = f (x) 的图象向左平移π 12 个单位, 再将所得图象上各点的 横坐标缩短为原来的1 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数y = g (x) 的图象, 求 [ 0, 5π 24 ] 上的值域. 759
2. 2. 在如图所示的几何体中, 四边形ABCD 是等腰梯形, AB CD, ∠DAB = 60◦, FC ⊥平面ABCD, AE ⊥BD, CB = CD = CF. (1) 求证: BD ⊥平面AED; (2) 求二面角F −BD −C 的余弦值. A F B C E D
3. 3. 现有甲乙两个靶, 某射手向甲靶射击一次命中的概率为3 4, 命中得1 分, 没 有命中得0 分; 向乙靶射击两次, 每次命中的概率为2 3, 每命中一次得2 分, 没有命中得0 分. 该射手每次射击的结果相互独立, 假设该射手完成以 上三次射击. (1) 求该射手恰好命中一次的概率; (2) 求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX.
4. 4. 在等差数列{an} 中, a3 + a4 + a5 = 84, a9 = 73. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 对任意m ∈N∗, 将数列{an} 中落入区间(9m, 92m) 内的项的个数记 为bm, 求数列{bm} 的前m 项和Sm.
5. 5. 在平面直角坐标系xOy 中, F 是抛物线C: x2 = 2py (p > 0) 的焦点, M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点, 过M, F, O 三点的圆的圆心 为Q, 点Q 到抛物线C 的准线的距离为3 4. (1) 求抛物线C 的方程; (2) 是否存在点M, 使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M? 若存在, 求 出点M 的坐标; 若不存在, 说明理由; (3) 若点M 的横坐标为 √ 2, 直线l: y = kx + 1 4 与抛物线C 有两个不 同的交点A, B, l 与圆Q 有两个不同的交点D, E, 求当1 2 ⩽k ⩽2 时, |AB|2 + |DE|2 的最小值.
6. 6. 已知函数f (x) = ln x + k ex (k 为常数, e = 2.71828 · · · 是自然对数的底数), 曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线与x 轴平行. (1) 求k 的值; (2) 求f (x) 的单调区间; (3) 设g (x) = (x2 + x)f ′ (x), 其中f ′ (x) 为f (x) 的导函数. 证明: 对任意 x > 0, g (x) < 1 + e−2. 760

原卷配图（含真实几何/应用题图示）