2012年广东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年广东（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设i 为虚数单位, 则复数3 + 4i i = ( ) 5分
   A. −4 −3i B. −4 + 3i C. 4 + 3i D. 4 −3i
2. 2. 设集合U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M = {1, 3, 5}, 则∁UM = ( ) 5分
   A. {2, 4, 6} B. {1, 3, 5} C. {1, 2, 4} D. U
3. 3. 若向量# » AB = (1, 2), # » BC = (3, 4), 则# » AC = ( ) 5分
   A. (4, 6) B. (−4, −6) C. (−2, −2) D. (2, 2)
4. 4. 下列函数为偶函数的是 ( ) √ x2 + 1 5分
   A. y = sin x B. y = x3 C. y = ex D. y = ln
5. 5. 已知变量x, y 满足约束条件        x + y ⩽1, x + 1 ⩾0, x −y ⩽1, 则z = x + 2y 的最小值为( ) 5分
   A. 3 B. 1 C. −5 D. −6
6. 6. 在△ABC 中, 若∠A = 60◦, ∠B = 45◦, BC = 3 √ 2, 则AC = ( ) √ 3 √ 3 (C) √ 3 (D) √ 3 2 5分
   A. 4 B. 2
7. 7. 某几何体的三视图如图所示, 则它的体积为 ( ) 俯视图 正视图 侧视图 6 5 5 5 5 6 3 3 5分
   A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π
8. 8. 在平面直角坐标系xOy 中, 直线3x + 4y −5 = 0 与圆x2 + y2 = 4 相交于 ( ) √ 3 √ 3 (C) √ 3 5分
   A. B 两点, 则弦AB 的长等于 A. 3 B. 2 D. 1
9. 9. 执行如图所示的程序框图, 若输入n 的值为6, 则输出s 的值为 ( ) 开始 输入n i = 1, s = 1 i < n s = s × i i = i + 2 输出s 结束 是 否 5分
   A. 105 B. 16 C. 15 D. 1
10. 10. 对任意两个非零的平面向量α 和β, 定义α ◦β = α · β β · β . 若两个非零的平 面向量a, b 满足a 与b 的夹角θ ∈ (π 4 , π 2 ) , 且a ◦b 和b ◦a 都在集合 {n 2 | n ∈Z } 中, 则a ◦b = ( ) 2 2 2 5分
    A. 5 B. 3 C. 1 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 函数y = √x + 1 x 的定义域为 . 5分
2. 2. 等比数列{an} 满足a2a4 = 1 2, 则a1a2 3a5 = . 5分
3. 3. 由正整数组成的一组数据x1, x2, x3, x4, 其平均数和中位数都是2, 且标准 差等于1, 则这组数据为 . (从小到大排列) 5分
4. 4. 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 { x = √ 5 cos θ, y = √ 5 sin θ, (θ 为参数, 0 ⩽θ ⩽π 2 ) 和        x = 1 − √ 2 2 t, y = − √ 2 2 t, (t 为参数), 则曲线C1 与C2 的交点坐标为 . 5分
5. 5. 如图所示, 直线PB 与圆O 相切于点B, D 是弦AC 上的点, ∠PBA = ∠DBA, 若AD = m, AC = n, 则AB = . A B D C P O • 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = A cos (x 4 + π 6 ) , x ∈R, 且f (π 3 ) = √ 2. (1) 求A 的值; (2) 设α, β ∈ [ 0, π 2 ] , f ( 4α + 4π 3 ) = −30 17, f ( 4β −2π 3 ) = 8 5, 求 cos (α + β) 的值.
2. 2. 某校100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示, 其中成绩 分组区间是: [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]. 频率 组距 0 成绩 a 50 60 70 80 90 100 0.04 0.03 0.02 (1) 求图中a 的值; (2) 根据频率分布直方图, 估计这100 名学生语文成绩的平均分; (3) 若这100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x) 与数学成绩相应分数 段的人数(y) 之比如下表所示, 求数学成绩在[50, 90) 之外的人数. 分数段 [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) x : y 1 : 1 2 : 1 3 : 4 4 : 5 735
3. 3. 如图所示, 在四棱锥P −ABCD 中, AB ⊥平面PAD, AB CD, PD = AD, E 是PB 中点, F 是DC 上的点且DF = 1 2AB, PH 为 △PAD 中AD 边上的高. (1) 证明: PH ⊥平面ABCD; (2) 若PH = 1, AD = √ 2, FC = 1, 求三棱锥E −BCF 的体积; (3) 证明: EF ⊥平面PAB. A B F C D E P H
4. 4. 设数列{an} 的前n 项和为Sn, 数列{Sn} 的前n 项和为Tn, 满足 Tn = 2Sn −n2, n ∈N∗. (1) 求a1 的值; (2) 求数列{an} 的通项公式.
5. 5. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C1: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左 焦点F1 (−1, 0), 且点P (0, 1) 在C1 上. (1) 求椭圆C1 的方程; (2) 设直线l 同时与椭圆C1 和抛物线C2: y2 = 4x 相切, 求直线l 的方程.
6. 6. 设0 < a < 1, 集合A = {x ∈R | x > 0}, B = {x ∈R | 2x2 −3 (1 + a) x + 6a > 0}, D = A ∩B. (1) 求集合D (用区间表示); (2) 求函数f (x) = 2x3 −3 (1 + a) x2 + 6ax 在D 内的极值点. 736

原卷配图（含真实几何/应用题图示）