2012年广东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年广东（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设i 为虚数单位, 则复数5 −6i i = ( ) 5分
   A. 6 + 5i B. 6 −5i C. −6 + 5i D. −6 −5i
2. 2. 设集合U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M = {1, 2, 4}, 则∁UM = ( ) 5分
   A. U B. {1, 3, 5} C. {3, 5, 6} D. {2, 4, 6}
3. 3. 若向量# » BA = (2, 3), # » CA = (4, 7), 则# » BC = ( ) 5分
   A. (−2, −4) B. (3, 4) C. (6, 10) D. (−6, −10)
4. 4. 下列函数中, 在区间(0, +∞) 上为增函数的是 ( ) (1 2 )x x 5分
   A. y = ln (x + 2) (B) y = −√x + 1 (C) y = D. y = x + 1
5. 5. 已知变量x, y 满足约束条件        y ⩽2, x + y ⩾1, x −y ⩽1, 则z = 3x + y 的最大值为( ) 5分
   A. 12 B. 11 C. 3 D. −1
6. 6. 某几何体的三视图如图所示, 则它的体积为 ( ) 俯视图 正视图 侧视图 6 5 5 5 5 6 5 5 • 5分
   A. 12π B. 45π C. 57π D. 81π
7. 7. 从个位数与〸位数之和为奇数的两位数中任取一个, 其个位数为0 的概率 是 ( ) 9 3 9 9 5分
   A. 4 B. 1 C. 2 D. 1
8. 8. 对任意两个非零的平面向量α 和β, 定义α ◦β = α · β β · β . 若平面向量a, b 满足|a| ⩾|b| > 0, a 与b 的夹角θ ∈ ( 0, π 4 ) , 且a ◦b 和b ◦a 都在集合 {n 2 | n ∈Z } 中, 则a ◦b = ( ) 2 2 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 3 D. 5

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 不等式|x + 2| −|x| ⩽1 的解集为 . 5分
2. 2. ( x2 + 1 x )6 的展开式中x3 的系数为 . (用数字作答) 5分
3. 3. 已知递增的等差数列{an} 满足a1 = 1, a3 = a2 2 −4, 则an = . 5分
4. 4. 曲线y = x3 −x + 3 在点(1, 3) 处的切线方程为 . 5分
5. 5. 执行如图所示的程序框图, 若输入n 的值为8, 则输出s 的值为 . 开始 输入n i = 2, k = 1, s = 1 i < n s = 1 k(s × i) i = i + 2 k = k + 1 输出s 结束 是 否 5分
6. 6. 在平面直角坐标系xOy 中, 曲线C1 和C2 的参数方程分别为 { x = t, y = √ t, (t 为参数) 和 { x = √ 2 cos θ, y = √ 2 sin θ, (θ 为参数), 则曲线C1 和C2 的交点坐标 为 . 5分
7. 7. 如图, 圆O 的半径为1, A, B, C 是圆周上的三点, 满足∠ABC = 30◦, 过 点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P, 则PA = . A B C P O • 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = 2 cos ( ωx + π 6 ) (其中ω > 0, x ∈R) 的最小正周期为 10π. (1) 求ω 的值; (2) 设α, β ∈ [ 0, π 2 ] , f ( 5α + 5 3π ) = −6 5, f ( 5β −5 6π ) = 16 17, 求 cos (α + β) 的值.
2. 2. 某班50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示, 其中成绩 分组区间是: [40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]. 频率 组距 0 成绩 x 40 50 60 70 80 90 100 0.010 0.054 0.006 (1) 求图中x 的值; (2) 从成绩不低于80 分的学生中随机选取2 人, 该2 人中成绩在90 分以 上(含90 分) 的人数记为ξ, 求ξ 的数学期望. 733
3. 3. 如图所示, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA ⊥平面 ABCD, 点E 在线段PC 上, PC ⊥平面BDE. (1) 证明: BD ⊥平面PAC; (2) 若PA = 1, AD = 2, 求二面角B −PC −A 的正切值. A B C D E P
4. 4. 设数列{an} 的前n 项和为Sn, 满足2Sn = an+1 −2n+1 + 1, n ∈N∗, 且 a1, a2 + 5, a3 成等差数列. (1) 求a1 的值; (2) 求数列{an} 的通项公式; (3) 证明: 对一切正整数n, 有1 a1 + 1 a2 + 1 a3 + · · · + 1 an < 3 2.
5. 5. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心 率e = √ 2 3, 且椭圆C 上的点到点Q (0, 2) 的距离的最大值为3. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 在椭圆C 上, 是否存在点M (m, n), 使得直线l: mx + ny = 1 与圆O: x2 + y2 = 1 相交于不同的两点A, B, 且△OAB 的面积最大? 若存在, 求 出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积; 若不存在, 请说明理由.
6. 6. 设a < 1, 集合A = {x ∈R | x > 0}, B = {x ∈R | 2x2 −3 (1 + a) x+6a > 0}, D = A ∩B. (1) 求集合D (用区间表示); (2) 求函数f (x) = 2x3 −3 (1 + a) x2 + 6ax 在D 内的极值点. 734

原卷配图（含真实几何/应用题图示）