本卷为官方高考数学真题（2012年新课标卷（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 已知集合A = {x | x2 −x −2 < 0}, B = {x | −1 < x < 1}, 则
(
) 5分
A. A ⫋B
B. B ⫋A
C. A = B
D. A ∩B = ∅
-
2. 复数z = −3 + i
2 + i
的共轭复数是
(
) 5分
A. 2 + i
B. 2 −i
C. −1 + i
D. −1 −i
-
3. 在一组样本数据(x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn) (n ⩾2, x1, x2, · · · , xn 不
全相等) 的散点图中, 若所有样本点(xi, yi) (i = 1, 2, · · · , n) 都在直线
y = 1
2x + 1 上, 则这组样本数据的样本相关系数为
(
)
2 5分
A. −1
B. 0
C. 1
D. 1
-
4. 设F1, F2 是椭圆E: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点, P 为直线
x = 3a
2
上一点, △F2PF1 是底角为30◦的等腰三角形, 则E 的离心率
为
(
)
2
3
4
5 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
-
5. 已知正三角形ABC 的顶点A (1, 1), B (1, 3), 顶点C 在第一象限, 若点
(x, y) 在△ABC 内部, 则z = −x + y 的取值范围是
(
)
(A)
(
1 −
√
3, 2
)
(C)
(√
3 −1, 2
)
(D)
(
0, 1 +
√
3
) 5分
B. (0, 2)
-
6. 如果执行下面的程序框图, 输入正整数N (N ⩾2) 和实数a1, a2, · · · , aN,
输出A, B, 则
(
)
开始
输入N, a1, a2, · · · , aN
k = 1, A = a1, B = a1
x = ak
x > A
x < B
k ⩾N
k = k + 1
输出A, B
结束
否
否
是
是
否
2
为a1, a2, · · · , aN 的算术平均数 5分
A. = x
B. = x
A. A + B 为a1, a2, · · · , aN 的和
B. A + B
C. A 和B 分别是a1, a2, · · · , aN 中最大的数和最小的数
D. A 和B 分别是a1, a2, · · · , aN 中最小的数和最大的数
-
7. 如图, 网格上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的三视图, 则此
几何体的体积为
(
) 5分
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
-
8. 平面α 截球O 的球面所得圆的半径为1, 球心O 到平面α 的距离为
√
2,
则此球的体积为
(
)
(A)
√
6π
√
3π
√
6π
√
3π 5分
B. 4
C. 4
D. 6
-
9. 已知ω > 0, 0 < φ < π, 直线x = π
4 和x = 5π
4 是函数f (x) = sin (ωx + φ)
图象的两条相邻的对称轴, 则φ =
(
)
4
3
2
4 5分
A. π
B. π
C. π
D. 3π
-
10. 等轴双曲线C 的中心在原点, 焦点在x 轴上, C 与抛物线y2 = 16x 的准
线交于A, B 两点, |AB| = 4
√
3, 则C 的实轴长为
(
)
(A)
√
2
√
2 5分
B. 2
C. 4
D. 8
-
11. 当0 < x ⩽1
2 时, 4x < logax, 则a 的取值范围是
(
)
(A)
(
0,
√
2
2
)
(B)
(√
2
2 , 1
)
(C)
(
1,
√
2
)
(D)
(√
2, 2
) 5分
-
12. 数列{an} 满足an+1 + (−1)nan= 2n −1, 则{an} 的前60 项和为
(
) 5分
A. 3690
B. 3660
C. 1845
D. 1830
-
1. 已知a, b, c 分别为△ABC 三个内角A, B, C 的对边, a cos C+
√
3a sin C−
(1) 求A;
(2) 若a = 2, △ABC 的面积为
√
3, 求b, c.
-
2. 某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝10
元的价格出售, 如果当天卖不完, 剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1) 若花店一天购进16 枝玫瑰花, 求当天的利润y (单位: 元) 关于当天需
求量n (单位: 枝, n ∈N) 的函数解析式;
(2) 花店记录了100 天玫瑰花的日需求量(单位: 枝), 整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①假设花店在这100 天内每天购进17 枝玫瑰花, 求这100 天的日利
润(单位: 元) 的平均数;
②若花店一天购进17 枝玫瑰花, 以100 天记录的各需求量的频率作
为各需求量发生的概率, 求当天的利润不少于75 元的概率.
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-
3. 如图, 三棱柱ABC −A1B1C1 中, 侧棱垂直底面, ∠ACB = 90◦, AC =
BC = 1
2AA1, D 是棱AA1 的中点.
(1) 证明: 平面BDC1 ⊥平面BDC;
(2) 平面BDC1 分此棱柱为两部分, 求这两部分体积的比.
C
B
A
C1
D
B1
A1
-
4. 设抛物线C: x2 = 2py (p > 0) 的焦点为F, 准线为l, A 为C 上一点, 已
知以F 为圆心, FA 为半径的圆F 交l 于B, D 两点.
(1) 若∠BFD = 90◦, △ABD 的面积为4
√
2, 求p 的值及圆F 的方程;
(2) 若A, B, F 三点在同一直线m 上, 直线n 与m 平行, 且n 与C 只有
一个公共点, 求坐标原点到m, n 距离的比值.
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5. 设函数f (x) = ex −ax −2.
(1) 求f (x) 的单调区间;
(2) 若a = 1, k 为整数, 且当x > 0 时, (x −k) f ′ (x) + x + 1 > 0, 求k 的
最大值.
-
6. 如图, D, E 分别为△ABC 边AB, AC 的中点, 直线DE 交△ABC 的外
接圆于F, G 两点. 若CF
AB, 证明:
(1) CD = BC;
(2) △BCD ∽△GBD.
A
B
E
F
G
D
C
-
7. 已知曲线C1 的参数方程是
{
x = 2 cos φ,
y = 3 sin φ,
(φ 是参数) 以坐标原点为极点,
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2 的极坐标方程是ρ = 2, 正
方形ABCD 的顶点都在C2 上, 且A, B, C, D 依逆时针次序排列, 点A
的极坐标为
(
2, π
3
)
.
(1) 求点A, B, C, D 的直角坐标;
(2) 设P 为C1 上任意一点, 求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围.
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8. 已知函数f (x) = |x + a| + |x −2|.
(1) 当a = −3 时, 求不等式f (x) ⩾3 的解集;
(2) 若f (x) ⩽|x −4| 的解集包含[1, 2], 求a 的取值范围.
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