本卷为官方高考数学真题（2012年新课标卷（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 已知集合A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {(x, y) | x ∈A, y ∈A, x −y ∈A},
则B 中所含元素的个数为
(
) 5分
A. 3
B. 6
C. 8
D. 10
-
2. 将2 名教师, 4 名学生分成2 个小组, 分别安排到甲、乙两地参加社会实践
活动, 每个小组由1 名教师和2 名学生组成, 不同的安排方案共有
(
) 5分
A. 12 种
B. 10 种
C. 9 种
D. 8 种
-
3. 下面是关于复数z =
2
−1 + i 的四个命题: p1: |z| = 2; p2: z2 = 2i; p3: z 的
共轭复数为1 + i; p4: z 的虚部为−1. 其中的真命题为
(
) 5分
A. p2, p3
B. p1, p2
C. p2, p4
D. p3, p4
-
4. 设F1, F2 是椭圆E: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点, P 为直线
x = 3a
2
上一点, △F2PF1 是底角为30◦的等腰三角形, 则E 的离心率
为
(
)
2
3
4
5 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
-
5. 已知{an} 为等比数列, a4 + a7 = 2, a5a6 = −8, 则a1 + a10 =
(
) 5分
A. 7
B. 5
C. −5
D. −7
-
6. 如果执行下面的程序框图, 输入正整数N (N ⩾2) 和实数a1, a2, · · · , aN,
输出A, B, 则
(
)
开始
输入N, a1, a2, · · · , aN
k = 1, A = a1, B = a1
x = ak
x > A
x < B
k ⩾N
k = k + 1
输出A, B
结束
否
否
是
是
否
2
为a1, a2, · · · , aN 的算术平均数 5分
A. = x
B. = x
A. A + B 为a1, a2, · · · , aN 的和
B. A + B
C. A 和B 分别是a1, a2, · · · , aN 中最大的数和最小的数
D. A 和B 分别是a1, a2, · · · , aN 中最小的数和最大的数
-
7. 如图, 网格上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的三视图, 则此
几何体的体积为
(
) 5分
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
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8. 等轴双曲线C 的中心在原点, 焦点在x 轴上, C 与抛物线y2 = 16x 的准
线交于A, B 两点, |AB| = 4
√
3, 则C 的实轴长为
(
)
(A)
√
2
√
2 5分
B. 2
C. 4
D. 8
-
9. 已知ω > 0, 函数f(x) = sin
(
ωx + π
4
)
在
(π
2 , π
)
单调递减, 则ω 的取值
范围是
(
)
(A)
[1
2, 5
4
]
(B)
[1
2, 3
4
]
(C)
(
0, 1
2
] 5分
D. (0, 2]
-
10. 已知函数f(x) =
1
ln(x + 1) −x, 则y = f(x) 的图象大致为
(
)
(A)
x
y
O 1
1
(B)
x
y
O 1
1
(C)
x
y
O 1
1
(D)
x
y
O 1
1 5分
-
11. 已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上, △ABC 是边长为1
的正三角形, SC 为球O 的直径, 且SC = 2, 则此棱锥的体积为
(
)
(A)
√
2
6
(B)
√
3
6
(C)
√
2
3
(D)
√
2
2 5分
-
12. 设点P 在曲线y = 1
2ex 上, 点Q 在曲线y = ln (2x) 上, 则|PQ| 的最小
值为
(
)
(B)
√
2 (1 −ln 2) (C) 1 + ln 2
(D)
√
2 (1 + ln 2) 5分
A. 1 −ln 2
-
1. 已知a, b, c 分别为△ABC 三个内角A, B, C 的对边, a cos C+
√
3a sin C−
(1) 求A;
(2) 若a = 2, △ABC 的面积为
√
3, 求b, c.
755
-
2. 某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝10
元的价格出售, 如果当天卖不完, 剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1) 若花店一天购进16 枝玫瑰花, 求当天的利润y (单位: 元) 关于当天需
求量n (单位: 枝, n ∈N) 的函数解析式;
(2) 花店记录了100 天玫瑰花的日需求量(单位: 枝), 整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位: 元), 求X
的分布列、数学期望及方差;
②若花店计划一天购进16 枝或17 枝玫瑰花, 你认为应购进16 枝还
是17 枝? 请说明理由.
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3. 如图, 直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AC = BC = 1
2AA1, D 是棱AA1 的
中点, DC1 ⊥BD.
(1) 证明: DC1 ⊥BC;
(2) 求二面角A1 −BD −C1 的大小.
C
B
A
C1
D
B1
A1
-
4. 设抛物线C: x2 = 2py (p > 0) 的焦点为F, 准线为l, A 为C 上一点, 已
知以F 为圆心, FA 为半径的圆F 交l 于B, D 两点.
(1) 若∠BFD = 90◦, △ABD 的面积为4
√
2, 求p 的值及圆F 的方程;
(2) 若A, B, F 三点在同一直线m 上, 直线n 与m 平行, 且n 与C 只有
一个公共点, 求坐标原点到m, n 距离的比值.
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5. 已知函数f (x) 满足f (x) = f ′ (1) ex−1 −f (0) x + 1
2x2.
(1) 求f (x) 的解析式及单调区间;
(2) 若f (x) ⩾1
2x2 + ax + b, 求(a + 1) b 的最大值.
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6. 如图, D, E 分别为△ABC 边AB, AC 的中点, 直线DE 交△ABC 的外
接圆于F, G 两点. 若CF
AB, 证明:
(1) CD = BC;
(2) △BCD ∽△GBD.
A
B
E
F
G
D
C
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7. 已知曲线C1 的参数方程是
{
x = 2 cos φ,
y = 3 sin φ,
(φ 是参数) 以坐标原点为极点,
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2 的极坐标方程是ρ = 2, 正
方形ABCD 的顶点都在C2 上, 且A, B, C, D 依逆时针次序排列, 点A
的极坐标为
(
2, π
3
)
.
(1) 求点A, B, C, D 的直角坐标;
(2) 设P 为C1 上任意一点, 求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围.
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8. 已知函数f (x) = |x + a| + |x −2|.
(1) 当a = −3 时, 求不等式f (x) ⩾3 的解集;
(2) 若f (x) ⩽|x −4| 的解集包含[1, 2], 求a 的取值范围.
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