本卷为官方高考数学真题（2012年江苏），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
解答题（分值见原卷）（共 5 题）
-
1. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右
焦点分别为F1 (−c, 0), F2 (c, 0), 已知点(1, e) 和
(
e,
√
3
2
)
都在椭圆上, 其
中e 为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设A, B 是椭圆上位于x 轴上方的两点, 且直线AF1 与直线BF2 平
行, AF2 与BF1 交于点P.
①若AF1 −BF2 =
√
6
2 , 求直线AF1 的斜率;
②求证: PF1 + PF2 是定值.
x
y
O
P
A
B
F1
F2
-
2. 已知各项均为正数的两个数列{an} 和{bn} 满足: an+1 =
an + bn
√
a2
n + b2
n
,
n ∈N∗.
(1) 设bn+1 = 1 + bn
an
, n ∈N∗, 求证: 数列
{( bn
an
)2}
是等差数列;
(2) 设bn+1 =
√
2 · bn
an
, n ∈N∗, 且{an} 是等比数列, 求a1 和b1 的值.
-
3. 四选二.
【A】如图, AB 是圆O 的直径, D, E 为圆O 上位于AB 异侧的两点, 连接
BD 并延长至点C, 使BD = DC, 连接AC, AE, DE. 求证: ∠E = ∠C.
A
B
C
D
E
O
•
【B】已知矩阵A 的逆矩阵A−1 =
−1
4
3
4
1
2
−1
2
, 求矩阵A 的特征值.
【C】在极坐标系中,
已知圆
C
经过点
P
(√
2, π
4
)
,
圆心为直线
ρ sin
(
θ −π
3
)
= −
√
3
2
与极轴的交点, 求圆C 的极坐标方程.
【D】已知实数x, y 满足: |x + y| < 1
3, |2x −y| < 1
6, 求证: |y| < 5
18.
-
4. 设ξ 为随机变量, 从棱长为1 的正方体的12 条棱中任取两条, 当两条棱相
交时, ξ = 0; 当两条棱平行时, ξ 的值为两条棱之间的距离; 当两条棱异面
时, ξ = 1.
(1) 求概率P (ξ = 0);
(2) 求ξ 的分布列, 并求其数学期望E (ξ).
-
5. 设集合Pn = {1, 2, · · · , n}, n ∈N∗. 记f (n) 为同时满足下列条件的集
合A 的个数: ①A ⊆Pn; ②若x ∈A, 则2x /∈A; ③若x ∈∁PnA, 则
2x /∈∁PnA.
(1) 求f (4);
(2) 求f (n) 的解析式(用n 表示).
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原卷配图（含真实几何/应用题图示）
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