2012年江西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年江西（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若复数z = 1 + i (i 为虚数单位), z 是z 的共轭复数, 则z2 + z2 的虚部 为 ( ) 5分
   A. 0 B. −1 C. 1 D. −2
2. 2. 若全集U = {x ∈R | x2 ⩽4}, 则集合A = {x ∈R | |x + 1| ⩽1} 的补集 ∁UA 为 ( ) 5分
   A. {x ∈R | 0 < x < 2} B. {x ∈R | 0 ⩽x < 2} C. {x ∈R | 0 < x ⩽2} D. {x ∈R | 0 ⩽x ⩽2}
3. 3. 设函数f (x) =    x2 + 1, x ⩽1, 2 x, x > 1, 则f (f (3)) = ( ) 5 3 9 5分
   A. 1 B. 3 C. 2 D. 13
4. 4. 若sin α + cos α sin α −cos α = 1 2, 则tan 2α = ( ) 4 4 3 3 5分
   A. −3 B. 3 C. −4 D. 4
5. 5. 观察下列事实: |x| + |y| = 1 的不同整数解(x, y) 的个数为4, |x| + |y| = 2 的不同整数解(x, y) 的个数为8, |x| + |y| = 3 的不同整数解(x, y) 的个数 为12, · · · , 则|x| + |y| = 20 的不同整数解(x, y) 的个数为 ( ) 5分
   A. 76 B. 80 C. 86 D. 92
6. 6. 小波一星期的总开支分布如图1 所示, 一星期的食品开支如图2 所示, 则 小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 ( ) 120 (元) 100 800 0 20 40 60 图1 图2 其他 5% 储蓄 20% 通讯开支 5% 娱乐开支 10% 食品开支 30% 日常开支 10% 30 40 100 80 50 鸡蛋牛奶肉类蔬菜其他 5分
   A. 30% B. 10% C. 3% D. 不能确定
7. 7. 若一个几何体的三视图如图所示, 则此几何体的体积为 ( ) 俯视图 主视图 左视图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 5分
   A. 11 B. 5 C. 9 D. 4
8. 8. 椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右顶点分别是A, B, 左、右焦点分别 是F1, F2. 若|AF1|, |F1F2|, |F1B| 成等比数列, 则此椭圆的离心率为( ) 4 (B) √ 5 5 2 (D) √ 5 −2 5分
   A. 1 C. 1
9. 9. 已知f(x) = sin2 ( x + π 4 ) . 若a = f(lg 5), b = f ( lg 1 5 ) , 则 ( ) 5分
   A. a + b = 0 B. a −b = 0 C. a + b = 1 D. a −b = 1
10. 10. 如图, |OA| = 2 (单位: m), |OB| = 1 (单位: m), OA 与OB 的夹角为 π 6 , 以A 为圆心, AB 为半径作圆弧˙ BDC 与线段OA 的延长线交于点C. 甲、乙两质点同时从点O 出发, 甲先以速率1 (单位: m/s) 沿线段OB 行 至点B, 再以速率3 (单位: m/s) 沿圆弧˙ BDC 行至点C 后停止; 乙以速 率2 (单位: m/s) 沿线段OA 行至点A 后停止. 设t 时刻甲、乙所到达的 两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t) (S (0) = 0), 则函数 y = S (t) 的图象大致是 ( ) A B D C O (A) x y O (B) x y O (C) x y O (D) x y O 5分

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 不等式x2 −9 x −2 > 0 的解集是 . 5分
2. 2. 设单位向量m = (x, y), b = (2, −1). 若m ⊥b, 则|x + 2y| = . 5分
3. 3. 等比数列{an} 的前n 项和为Sn, 公比不为1. 若a1 = 1, 且对任意的 n ∈N∗, 都有an+2 + an+1 −2an = 0, 则S5 = . 5分
4. 4. 过直线x + y −2 √ 2 = 0 上的点P 作圆x2 + y2 = 1 的两条切线, 若两条 切线的夹角是60◦, 则点P 的坐标是 . 5分
5. 5. 如图为某算法的程序框图, 则程序运行后输出的结果是 . 开始 T = 0, k = 1 sin kπ 2 > sin (k −1)π 2 ? T = T + a k = k + 1 k < 6? 输出T 结束 是 否 是 否 5分
   A. = 1 A. = 0

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 已知3 cos (B −C) −1 = 6 cos B cos C. (1) 求cos A; (2) 若a = 3, △ABC 的面积为2 √ 2, 求b, c. 749
2. 2. 已知数列{an} 的前n 项和Sn = kcn −k (其中c, k 为常数), 且a2 = 4, a6 = 8a3. (1) 求an; (2) 求数列{nan} 的前n 项和Tn.
3. 3. 如图, 从A1 (1, 0, 0), A2 (2, 0, 0), B1 (0, 1, 0), B2 (0, 2, 0), C1 (0, 0, 1), C2 (0, 0, 2) 这6 个点中随机选取3 个点. (1) 求这3 点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2) 求这3 点与原点O 共面的概率. O B1 C1 A1 A2 B2 C2 x y z • • • • • • •
4. 4. 如图, 在梯形ABCD 中, AB CD, E, F 是线段AB 上的两点, 且 DE ⊥AB, CF ⊥AB, AB = 12, AD = 5, BC = 4 √ 2, DE = 4. 现将 △ADE, △CFB 分别沿DE, CF 折起, 使A, B 两点重合于点G, 得到多 面体CDEFG. (1) 求证: 平面DEG ⊥平面CFG; (2) 求多面体CDEFG 的体积. A B C D E F G C D E F
5. 5. 已知三点O (0, 0), A (−2, 1), B (2, 1), 曲线C 上任意一点M (x, y) 满足 # » MA + # » MB  = # » OM · (# » OA + # » OB ) + 2. (1) 求曲线C 的方程; (2) 点Q (x0, y0) (−2 < x0 < 2) 是曲线C 上的动点, 曲线C 在点Q 处 的切线为l, 点P 的坐标是(0, −1), l 与PA, PB 分别交于点D, E, 求 △QAB 与△PDE 的面积之比.
6. 6. 已知函数f (x) = (ax2 + bx + c) ex 在[0, 1] 上单调递减且满足f (0) = 1, (1) 求a 的取值范围; (2) 设g (x) = f (x) −f ′ (x), 求g (x) 在[0, 1] 上的最大值和最小值. 750

原卷配图（含真实几何/应用题图示）