2012年江西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年江西（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若集合A = {−1, 1}, B = {0, 2}, 则集合{z | z = x + y, x ∈A, y ∈B } 中的元素的个数为 ( ) 5分
   A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2. 2. 下列函数中, 与函数y = 1 3√x 定义域相同的函数为 ( ) 1 sin x x x 5分
   A. y = B. y = ln x C. y = xex D. y = sin x
3. 3. 若函数f (x) = { x2 + 1, x ⩽1, lg x, x > 1, 则f (f (10)) = ( ) 5分
   A. lg 101 B. 2 C. 1 D. 0
4. 4. 若tan θ + 1 tan θ = 4, 则sin 2θ = ( ) 5 4 3 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
5. 5. 下列命题中, 假命题为 ( ) n + C1 n + · · · + Cn n 都是偶数 5分
   A. 存在四边相等的四边形不是正方形 B. z1, z2 ∈C, z1 + z2 为实数的充分必要条件是z1, z2 互为共轭复数 C. 若x, y ∈R, 且x + y > 2, 则x, y 至少有一个大于1 D. 对于任意n ∈N+, C0
6. 6. 观察下列各式: a+b = 1, a2 +b2 = 3, a3 +b3 = 4, a4 +b4 = 7, a5 +b5 = 11, · · · , 则a10 + b10 = ( ) 5分
   A. 28 B. 76 C. 123 D. 199
7. 7. 在直角三角形ABC 中, 点D 是斜边AB 的中点, 点P 为线段CD 的中 点, 则|PA|2 + |PB|2 |PC|2 = ( ) 5分
   A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
8. 8. 某农户计划种植黄瓜和韭菜, 种植面积不超过50 亩, 投入资金不超过54 万元, 假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润= 总销售收入−总种植成本) 最大, 那么 黄瓜和韭菜的种植面积(单位: 亩) 分别为 ( ) 5分
   A. 50, 0 B. 30, 20 C. 20, 30 D. 0, 50
9. 9. 样本(x1, x2, · · · , xn) 的平均数为x, 样本(y1, y2, · · · , ym) 的平均 数为y (x̸ = y). 若样本(x1, x2, · · · , xn, y1, y2, · · · , ym) 的平均数 z = αx + (1 −α) y, 其中0 < α < 1 2, 则n, m 的大小关系为 ( ) 5分
   A. n < m B. n > m C. n = m D. 不能确定
10. 10. 如图, 已知正四棱锥S −ABCD 所有棱长都为1, 点E 是侧棱SC 上一动 点, 过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分. 记SE = x (0 < x < 1), 截面下面部分的体积为V (x), 则函数y = V (x) 的图象大致 为 ( ) A B C S D E (A) x y O √ 2 6 √ 2 24 1 2 1 (B) x y O √ 2 6 √ 2 24 1 2 1 (C) x y O √ 2 6 √ 2 24 1 2 1 (D) x y O √ 2 6 √ 2 24 1 2 1 5分

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 计算定积分 ∫1 −1 ( x2 + sin x ) dx = . 5分
2. 2. 设数列{an}, {bn} 都是等差数列, 若a1 + b1 = 7, a3 + b3 = 21, 则 a5 + b5 = . 5分
3. 3. 椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右顶点分别是A, B, 左、右焦点分别是 F1, F2. 若|AF1|, |F1F2|, |F1B| 成等比数列, 则此椭圆的离心率为 . 5分
4. 4. 如图为某算法的程序框图, 则程序运行后输出的结果是 . 开始 T = 0, k = 1 sin kπ 2 > sin (k −1)π 2 ? T = T + a k = k + 1 k < 6? 输出T 结束 是 否 是 否 5分
   A. = 1 A. = 0
5. 5. 曲线C 的直角坐标方程为x2 + y2 −2x = 0, 以原点为极点, x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系, 则曲线C 的极坐标方程为 . 5分
6. 6. 在实数范围内, 不等式|2x −1| + |2x + 1| ⩽6 的解集为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知数列{an} 的前n 项和Sn = −1 2n2 + kn (其中k ∈N+), 且Sn 的最 大值为8. (1) 确定常数k, 并求an; (2) 求数列 {9 −2an 2n } 的前n 项和Tn.
2. 2. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 已知A = π 4 , (π 4 + C ) −c sin (π 4 + B ) = a. (1) 求证: B −C = π 2 ; (2) 若a = √ 2, 求△ABC 的面积. 747
3. 3. 如图, 从A1 (1, 0, 0), A2 (2, 0, 0), B1 (0, 1, 0), B2 (0, 2, 0), C1 (0, 0, 1), C2 (0, 0, 2) 这6 个点中随机选取3 个点, 将这3 个点及原点O 两两相 连构成一个“立体”, 记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3 个点与 原点在同一个平面内, 此时“立体”的体积V = 0). (1) 求V = 0 的概率; (2) 求V 的分布列及数学期望EV . O B1 C1 A1 A2 B2 C2 x y z • • • • • • •
4. 4. 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, 已知AB = AC = AA1 = √ 5, BC = 4, 点 A1 在底面ABC 的射影是线段BC 的中点O. (1) 证明: 在侧棱AA1 上存在一点E, 使得OE ⊥平面BB1C1C, 并求出 AE 的长; (2) 求平面A1B1C 与平面BB1C1C 夹角的余弦值. A B C A1 B1 C1 O
5. 5. 已知三点O (0, 0), A (−2, 1), B (2, 1), 曲线C 上任意一点M (x, y) 满足 # » MA + # » MB  = # » OM · (# » OA + # » OB ) + 2. (1) 求曲线C 的方程; (2) 动点Q (x0, y0) (−2 < x0 < 2) 在曲线C 上, 曲线C 在点Q 处的切线 为l. 问: 是否存在定点P (0, t) (t < 0), 使得l 与PA, PB 都相交, 交点分 别为D, E, 且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数? 若存在, 求t 的值; 若不存在, 请说明理由.
6. 6. 若函数h (x) 满足 ①h (0) = 1, h (1) = 0; ②对任意a ∈[0, 1], 有h (h (a)) = a; ③在(0, 1) 上单调递减. 则称h (x) 为补函数. 已知函数h (x) = ( 1 −xp 1 + λxp ) 1 p (λ > −1, p > 0). (1) 判断函数h (x) 是否为补函数, 并证明你的结论; (2) 若存在m ∈[0, 1], 使h (m) = m, 称m 是函数h (x) 的中介元. 记 p = 1 n (n ∈N+) 时h (x) 的中介元为xn, 且Sn = n∑ i=1 xi, 若对任意的 n ∈N+, 都有Sn < 1 2, 求λ 的取值范围; (3) 当λ = 0, x ∈(0, 1) 时, 函数y = h (x) 的图象总在直线y = 1 −x 的 上方, 求p 的取值范围. 748

原卷配图（含真实几何/应用题图示）