2012年浙江（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年浙江（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 集合P = {1, 2, 3, 4}, Q = {3, 4, 5}, 则 P ∩ ( ∁UQ ) = 5分
   A. {1, 2, 3, 4, 6} B. {1, 2, 3, 4, 5} C. {1, 2, 5} D. {1, 2}
2. 2. 已知i 是虚数单位, 则3 + i 1 −i = ( ) 5分
   A. 1 −2i B. 2 −i C. 2 + i D. 1 + 2i
3. 3. 已知某三棱锥的三视图(单位: cm) 如图所示, 则该三棱锥的体积是 ( ) 1 3 2 俯视图 正视图 侧视图 5分
   A. 1 cm3 B. 2 cm3 C. 3 cm3 D. 6 cm3
4. 4. 设l 是直线, α, β 是两个不同的平面, 下列选项正确的是 ( ) α, l β, 则α β α, l ⊥β, 则α ⊥β α, 则l ⊥β 5分
   A. 若l B. 若l C. 若α ⊥β, l ⊥α, 则l ⊥β D. 若α ⊥β, l
5. 5. 设a ∈R, 则“a = 1”是“直线l1: ax + 2y −1 = 0 与直线l2: x + 2y + 4 = 0 平行”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 6. 把函数y = cos 2x + 1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐 标不变), 然后向左平移1 个单位长度, 再向下平移1 个单位长度, 得到的 图象是 ( ) (A) x 3π 2 −1 π 2 −1 y 1 −1 π 2π O (B) x 3π 2 + 1 π 2 + 1 y 1 −1 π 2π O (C) x 3π 8 −1 y 1 −1 π 2π O (D) x 1 −π 8 y 1 −1 π 2π O 5分
7. 7. 设a, b 是两个非零向量. ( ) 5分
   A. 若|a + b| = |a| −|b|, 则a ⊥b B. 若a ⊥b, 则|a + b| = |a| −|b| C. 若|a + b| = |a| −|b|, 则存在实数λ, 使得b = λa D. 若存在实数λ, 使得b = λa, 则|a + b| = |a| −|b|
8. 8. 如图, 中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点, M, N 是双曲线的两 顶点. 若M, O, N 将椭圆长轴四等分, 则双曲线与椭圆的离心率的比值 是 ( ) x y O M N (C) √ 3 (D) √ 2 5分
   A. 3 B. 2
9. 9. 若正数x, y 满足x + 3y = 5xy, 则3x + 4y 的最小值是 ( ) 5 5 5分
   A. 24 B. 28 C. 5 D. 6
10. 10. 设a > 0, b > 0, e 是自然对数的底数 ( ) 5分
    A. 若ea + 2a = eb + 3b, 则a > b B. 若ea + 2a = eb + 3b, 则a < b C. 若ea −2a = eb −3b, 则a > b D. 若ea −2a = eb −3b, 则a < b

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 某个年级有男生560 人, 女生420 人, 用分层抽样的方法从该年级全体学 生中抽取一个容量为280 的样本, 则此样本中男生人数为 . 5分
2. 2. 从边长为1 的正方形的中心和顶点这五点中, 随机(等可能) 取两点, 则该 两点间的距离为 √ 2 2 的概率是 . 5分
3. 3. 若某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的值是 . 开始 T = 1, i = 1 T = T i i = i + 1 i > 5? 输出T 结束 是 否 5分
4. 4. 设z = x + 2y, 其中实数x, y 满足              x −y + 1 ⩾0, x + y −2 ⩽0, x ⩾0, y ⩾0, 则z 的取值范围 是 . 5分
5. 5. 在△ABC 中, M 是BC 的中点, AM = 3, BC = 10, 则# » AB· # » AC = . 5分
6. 6. 设函数f (x) 是定义在R 上的周期为2 的偶函数, 当x ∈[0, 1] 时, (3 2 ) = . 5分
   F. (x) = x + 1, 则f
7. 7. 定义: 曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的 距离. 已知曲线C1: y = x2 + a 到直线l: y = x 的距离等于曲线C2: x2 + (y + 4)2 = 2 到直线l: y = x 的距离, 则实数a = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 且b sin A = √ 3a cos B. (1) 求角B 的大小; (2) 若b = 3, sin C = 2 sin A, 求a, c 的值. 781
2. 2. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn, 且Sn = 2n2 + n, n ∈N∗, 数列{bn} 满 足an = 4log2bn + 3, n ∈N∗. (1) 求an, bn; (2) 求数列{an · bn} 的前n 项和Tn.
3. 3. 如图, 在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AD BC, AD ⊥AB, AB = √ 2, AD = 2, BC = 4, AA1 = 2, E 是DD1 的中 点, F 是平面B1C1E 与直线AA1 的交点. (1) 证明: ①EF A1D1; ②BA1 ⊥平面B1C1EF; (2) 求BC1 与平面B1C1EF 所成的角的正弦值. A B C D A1 F B1 C1 D1 E
4. 4. 已知a ∈R, 函数f (x) = 4x3 −2ax + a. (1) 求f (x) 的单调区间; (2) 证明: 当0 ⩽x ⩽1 时, f (x) + |2 −a| > 0.
5. 5. 如图, 在直角坐标系xOy 中, 点P ( 1, 1 2 ) 到抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 的准线的距离为5 4. 点M (t, 1) 是C 上的定点, A, B 是C 上的两动点, 且 线段AB 被直线OM 平分. (1) 求p, t 的值; (2) 求△ABP 面积的最大值. x y O A B P M 782

原卷配图（含真实几何/应用题图示）