2012年浙江（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年浙江（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设集合A = {x | 1 < x < 4}, 集合B = {x | x2 −2x −3 ⩽0}, 则A ∩ ( ∁RB ) = ( ) 5分
   A. (1, 4) B. (3, 4) C. (1, 3) D. (1, 2) ∪(3, 4)
2. 2. 已知i 是虚数单位, 则3 + i 1 −i = ( ) 5分
   A. 1 −2i B. 2 −i C. 2 + i D. 1 + 2i
3. 3. 设a ∈R, 则“a = 1”是“直线l1: ax+2y−1 = 0 与直线l2: x+(a + 1) y+4 = 0 平行”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 把函数y = cos 2x + 1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐 标不变), 然后向左平移1 个单位长度, 再向下平移1 个单位长度, 得到的 图象是 ( ) (A) x 3π 2 −1 π 2 −1 y 1 −1 π 2π O (B) x 3π 2 + 1 π 2 + 1 y 1 −1 π 2π O (C) x 3π 8 −1 y 1 −1 π 2π O (D) x 1 −π 8 y 1 −1 π 2π O 5分
5. 5. 设a, b 是两个非零向量. ( ) 5分
   A. 若|a + b| = |a| −|b|, 则a ⊥b B. 若a ⊥b, 则|a + b| = |a| −|b| C. 若|a + b| = |a| −|b|, 则存在实数λ, 使得b = λa D. 若存在实数λ, 使得b = λa, 则|a + b| = |a| −|b|
6. 6. 若从1, 2, 3, · · · , 9 这9 个整数中同时取4 个不同的数, 其和为偶数, 则不 同的取法共有 ( ) 5分
   A. 60 种 B. 63 种 C. 65 种 D. 66 种
7. 7. 设Sn 是公差为d (d̸ = 0) 的无穷等差数列{an} 的前n 项和, 则下列命题 错误的是 ( ) 5分
   A. 若d < 0, 则数列{Sn} 有最大项 B. 若数列{Sn} 有最大项, 则d < 0 C. 若数列{Sn} 是递增数列, 则对任意n ∈N∗, 均有Sn > 0 D. 若对任意n ∈N∗, 均有Sn > 0, 则数列{Sn} 是递增数列
8. 8. 如图, F1, F2 分别是双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a, b > 0) 的左、右焦点, B 是 虚轴的端点, 直线F1B 与C 的两条渐近线分别交于P, Q 两点, 线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M. 若|MF2| = |F1F2|, 则C 的离心率是( ) x y O P Q F1 F2 B M • • √ 3 3 (B) √ 6 2 (C) √ 2 (D) √ 3 5分
   A. 2
9. 9. 设a > 0, b > 0. ( ) 5分
   A. 若2a + 2a = 2b + 3b, 则a > b B. 若2a + 2a = 2b + 3b, 则a < b C. 若2a −2a = 2b −3b, 则a > b D. 若2a −2a = 2b −3b, 则a < b
10. 10. 已知矩形ABCD, AB = 1, BC = √ 2, 将△ABD 沿矩形的对角线BD 所 在的直线进行翻折, 在翻折过程中 ( ) 垂直 5分
    A. 存在某个位置, 使得直线AC 与直线BD 垂直 B. 存在某个位置, 使得直线AB 与直线CD 垂直 C. 存在某个位置, 使得直线AD 与直线BC 垂直 D. 对任意位置, 三对直线“AC 与BD”, “AB 与CD”, “AD 与BC”均不

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 已知某三棱锥的三视图(单位: cm) 如图所示, 则该三棱锥的体积等 于 cm3. 1 3 2 俯视图 正视图 侧视图 5分
2. 2. 若某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的值是 . 开始 T = 1, i = 1 T = T i i = i + 1 i > 5? 输出T 结束 是 否 5分
3. 3. 设公比为q (q > 0) 的等比数列{an} 的前n 项和为Sn. 若S2 = 3a2 + 2, S4 = 3a4 + 2, 则q = . 5分
4. 4. 若将函数f (x) = x5 表示为f (x) = a0 + a1 (1 + x) + a2 (1 + x)2 + · · · + a5 (1 + x)5, 其中a0, a1, a2, · · · , a5 为实数, 则a3 = . 5分
5. 5. 在△ABC 中, M 是BC 的中点, AM = 3, BC = 10, 则# » AB· # » AC = . 5分
6. 6. 定义: 曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的 距离. 已知曲线C1: y = x2 + a 到直线l: y = x 的距离等于曲线C2: x2 + (y + 4)2 = 2 到直线l: y = x 的距离, 则实数a = . 5分
7. 7. 设a ∈R, 若x > 0 时均有[(a −1) x −1] (x2 −ax −1) ⩾0, 则a = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 已知cos A = 2 3, sin B = √ 5 cos C. (1) 求tan C 的值; (2) 若a = √ 2, 求△ABC 的面积. 779
2. 2. 已知箱中装有4 个白球和5 个黑球, 且规定: 取出一个白球得2 分, 取出 一个黑球得1 分. 现从该箱中任取(无放回, 且每球取到的机会均等)3 个 球, 记随机变量X 为取出此3 球所得分数之和. (1) 求X 的分布列; (2) 求X 的数学期望E (X).
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面是边长为2 √ 3 的菱形, ∠BAD = 120◦, 且PA ⊥平面ABCD, PA = 2 √ 6, M, N 分别为PB, PD 的中点. (1) 证明: MN 平面ABCD; (2) 过点A 作AQ ⊥PC, 垂足为点Q, 求二面角A −MN −Q 的平面角 的余弦值. B C A D P M Q N
4. 4. 如图, 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为1 2, 其左焦点到点 P (2, 1) 的距离为 √ 10, 不过原点O 的直线l 与C 相交于A, B 两点, 且 线段AB 被直线OP 平分. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程. x y O A B P
5. 5. 已知a > 0, b ∈R, 函数f (x) = 4ax3 −2bx −a + b. (1) 证明: 当0 ⩽x ⩽1 时, ①函数f (x) 的最大值为|2a −b| + a; ②f (x) + |2a −b| + a ⩾0; (2) 若−1 ⩽f (x) ⩽1 对x ∈[0, 1] 恒成立, 求a + b 的取值范围. 780

原卷配图（含真实几何/应用题图示）