2012年湖北（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年湖北（文科）），共 4 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 4 题）

1. 1. 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体, 其下部是底面均是正方形, 侧 面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1 −ABCD, 上部是一个底面与四 棱台的上底面重合, 侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD −A2B2C2D2. (1) 证明: 直线B1D1 ⊥平面ACC2A2; (2) 现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知AB = 10, A1B1 = 20, AA2 = 30, AA1 = 13 (单位: 厘米), 每平方厘米的加工处理费用为0.20 元, 需加工处理费多少元? A A2 A1 B B2 B1 C C2 C1 D D2 D1
2. 2. 已知等差数列{an} 前三项的和为−3, 前三项的积为8. (1) 求等差数列{an} 的通项公式; (2) 若a2, a3, a1 成等比数列, 求数列{|an|} 的前n 项和.
3. 3. 设A 是单位圆x2 + y2 = 1 上的任意一点, l 是过点A 与x 轴垂直的直 线, D 是直线l 与x 轴的交点, 点M 在直线l 上, 且满足|DM| = m|DA| (m > 0 且m̸ = 1). 当点A 在圆上运动时, 记点M 的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C 的方程, 判断曲线C 为何种圆锥曲线, 并求其焦点坐标; (2) 过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P, Q 两点, 其中P 在第一象 限, 它在y 轴上的射影为点N, 直线QN 交曲线C 于另一点H. 是否存 在m, 使得对任意的k > 0, 都有PQ ⊥PH? 若存在, 求m 的值; 若不存 在, 请说明理由.
4. 4. 设函数f (x) = axn (1 −x) + b (x > 0), n 为正整数, a, b 为常数. 曲线 y = f (x) 在(1, f (1)) 处的切线方程为x + y = 1. (1) 求a, b 的值; (2) 求函数f (x) 的最大值; (3) 证明: f (x) < 1 ne. 740

原卷配图（含真实几何/应用题图示）