2012年湖北（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年湖北（理科）），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知等差数列{an} 前三项的和为−3, 前三项的积为8. (1) 求等差数列{an} 的通项公式; (2) 若a2, a3, a1 成等比数列, 求数列{| an|} 的前n 项和.
2. 2. 如图1, ∠ACB = 45◦, BC = 3, 过动点A 作AD ⊥BC, 垂足D 在线段 BC 上且异于点B, 连接AB, 沿AD 将△ABD 折起, 使∠BDC = 90◦ (如图2 所示). (1) 当BD 的长为多少时, 三棱锥A −BCD 的体积最大; (2) 当三棱锥A−BCD 的体积最大时, 设点E, M 分别为棱BC, AC 的中 点, 试在棱CD 上确定一点N, 使得EN ⊥BM, 并求EN 与平面BMN 所成角的大小. A B C D 图1 A B C D E M 图2 •
3. 3. 根据以往的经验, 某工程施工期间的降水量X (单位: mm) 对工期的影响 如下表: 降水量X X < 300 300 ⩽X < 700 700 ⩽X < 900 X ⩾900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明, 该工程施工期间降水量X 小于300, 700, 900 的概率 分别为0.3, 0.7, 0.9. 求: (1) 工期延误天数Y 的均值与方差; (2) 在降水量X 至少是300 的条件下, 工期延误不超过6 天的概率.
4. 4. 设A 是单位圆x2 + y2 = 1 上的任意一点, l 是过点A 与x 轴垂直的直 线, D 是直线l 与x 轴的交点, 点M 在直线l 上, 且满足|DM| = m|DA| (m > 0 且m̸ = 1). 当点A 在圆上运动时, 记点M 的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C 的方程, 判断曲线C 为何种圆锥曲线, 并求其焦点坐标; (2) 过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P, Q 两点, 其中P 在第一象 限, 它在y 轴上的射影为点N, 直线QN 交曲线C 于另一点H. 是否存 在m, 使得对任意的k > 0, 都有PQ ⊥PH? 若存在, 求m 的值; 若不存 在, 请说明理由.
5. 5. (1) 已知函数f (x) = rx −xr + (1 −r) (x > 0), 其中r 为有理数, 且 0 < r < 1, 求f (x) 的最小值; (2) 试用(1) 的结果证明如下命题: 设a1 ⩾0, a2 ⩾0, b1, b2 为正有理数. 若b1 + b2 = 1, 则ab1 1 ab2 2 ⩽a1b1 + a2b2; (3) 请将(2) 中的命题推广到一般形式, 并用数学归纳法证明你所推广的命 题. 注: 当α 为正有理数时, 有求导公式(xα)′ = αxα−1. 738

原卷配图（含真实几何/应用题图示）