2012年湖南（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年湖南（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 9 题）

1. 1. 设集合M = {−1, 0, 1}, N = {x | x2 = x}, 则M ∩N = ( ) 5分
   A. {−1, 0, 1} B. {0, 1} C. {1} D. {0}
2. 2. 复数z = i (i + 1) (i 为虚数单位) 的共轭复数是 ( ) 5分
   A. −1 −i B. −1 + i C. 1 −i D. 1 + i
3. 3. 命题“若α = π 4 , 则tan α = 1”的逆否命题是 ( ) 4 , 则tan α̸ = 1 4 , 则tan α̸ = 1 4 4 5分
   A. 若α̸ = π B. 若α = π C. 若tan α̸ = 1, 则α̸ = π D. 若tan α̸ = 1, 则α = π
4. 4. 某几何体的正视图和侧视图均如下图所示, 则该几何体的俯视图不可能 是 ( ) (A) (B) (C) (D) 5分
5. 5. 设某大学的女生体重y (单位: kg) 与身高x (单位: cm) 具有线性相关关 系, 根据一组样本数据(xi, yi) (i = 1, 2, · · · , n), 用最小二乘法建立的回 归方程为ˆy = 0.85x −85.71, 则下列结论中不正确的是 ( ) 5分
   A. y 与x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心(x, y) C. 若该大学某女生身高增加1 cm, 则其体重约增加0.85 kg D. 若该大学某女生身高为170 cm, 则可断定其体重必为58.79 kg
6. 6. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 的焦距为10, 点P (2, 1) 在C 的渐近线上, 则 ( ) 20 −y2 5 = 1 (B) x2 5 −y2 20 = 1 (C) x2 80 −y2 20 = 1 (D) x2 20 −y2 80 = 1 5分
   C. 的方程为 A. x2
7. 7. 设a > b > 1, c < 0, 给出下列三个结论: ①c b; ②ac < bc; ③logb (a −c) > loga (b −c). 其中所有正确结论的序号是 ( ) 5分
   A. > c A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③
8. 8. 在△ABC 中, AC = √ 7, BC = 2, B = 60◦, 则BC 边上的高等于 ( ) (A) √ 3 2 √ 3 2 (C) √ 3 + √ 6 2 (D) √ 3 + √ 39 4 5分
   B. 3
9. 9. 设定义在R 上的函数f (x) 是最小正周期为2π 的偶函数, f ′ (x) 是f (x) 的导函数. 当x ∈[0, π] 时, 0 < f (x) < 1; 当x ∈(0, π) 且x̸ = π 2 时, ( x −π 2 ) 为 ( ) 5分
   F. ′ (x) > 0, 则函数y = f (x) −sin x 在[−2π, 2π] 上的零点个数 A. 2 B. 4 C. 5 D. 8

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 在极坐标系中, 曲线C1: ρ (√ 2 cos θ + sin θ ) = 1 与曲线C2: ρ = a (a > 0) 的一个交点在极轴上, 则a = . 5分
2. 2. 某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定, 需要优选培养温度, 试验 范围定为29◦C ∼63◦C, 精确度要求±1◦C. 用分数法进行优选时, 能保证 找到最佳培养温度需要的最少试验次数为 . 5分
3. 3. 不等式x2 −5x + 6 ⩽0 的解集为 . 5分
4. 4. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图, 则该运动 员在这五场比赛中得分的方差为 . 0 8 9 1 0 3 5 (注: 方差s2 = 1 n [ (x1 −x)2 + (x2 −x)2 + · · · + (xn −x)2] , 其中x 为x1, x2, · · · , xn 的平均数) 5分
5. 5. 如果执行如图所示的程序框图, 输入x = 4.5, 则输出的数i = . 开始 输入x i = 1 x = x −1 i = i + 1 x < 1? 输出i 结束 是 否 5分
6. 6. 如图, 在平行四边形ABCD 中, AP ⊥BD, 垂足为P, 且AP = 3, 则 # » AP · # » AC = . A P B C D 5分
7. 7. 对于n ∈N∗, 将n 表示为n = ak ×2k +ak−1×2k−1+· · ·+a1×21+a0×20, 当i = k 时, ai = 1, 当0 ⩽i ⩽k −1 时, ai 为0 或1. 定义bn 如下: 在n 的上述表示中, 当a0, a1, a2, · · · , ak 中等于1 的个数为奇数时, bn = 1; 否 则bn = 0. (1) b2 + b4 + b6 + b8 = ; (2) 记cm 为数列{bn} 中第m 个为0 的项与第m + 1 个为0 的项之间的 项数, 则cm 的最大值是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息, 安排一名员工随机收集了 在该超市购物的100 位顾客的相关数据, 如下表所示. 一次购物量 1 至4 件 5 至8 件 9 至12 件 13 至16 件 17 件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100 位顾客中一次购物量超过8 件的顾客占55%. (1) 确定x, y 的值, 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过2 分钟的概率. (将频率视为概 率)
2. 2. 已知函数f (x) = A sin (ωx + φ) ( x ∈R, ω > 0, 0 < φ < π 2 ) 的部分图象 如图所示. (1) 求函数f (x) 的解析式; (2) 求函数g (x) = f ( x −π 12 ) −f ( x + π 12 ) 的单调递增区间. x y O 1 5π 12 11π 12 743
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥平面ABCD, 底面ABCD 是等腰 梯形, AD BC, AC ⊥BD. (1) 证明: BD ⊥PC; (2) 若AD = 4, BC = 2, 直线PD 与平面PAC 所成的角为30◦, 求四棱 锥P −ABCD 的体积. A P B C D
4. 4. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. 该企业第一年年初有资金 2000 万元, 将其投入生产, 到当年年底资金增长了50%, 预计以后每年资 金年增长率与第一年的相同. 公司要求企业从第一年开始, 每年年底上缴 资金d 万元, 并将剩余资金全部投入下一年生产. 设第n 年年底企业上缴 资金后的剩余资金为an 万元. (1) 用d 表示a1, a2, 并写出an+1 与an 的关系式; (2) 若公司希望经过m (m ⩾3) 年使企业的剩余资金为4000 万元, 试确定 企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).
5. 5. 在直角坐标系xOy 中, 已知中心在原点, 离心率为1 2 的椭圆E 的一个焦 点为圆C: x2 + y2 −4x + 2 = 0 的圆心. (1) 求椭圆E 的方程; (2) 设P 是椭圆E 上一点, 过P 作两条斜率之积为1 2 的直线l1, l2, 当直 线l1, l2 都与圆C 相切时, 求P 的坐标.
6. 6. 已知函数f (x) = ex −ax, 其中a > 0. (1) 若对一切x ∈R, f (x) ⩾1 恒成立, 求a 的取值集合; (2) 在函数f (x) 的图象上取定两点A (x1, f (x1)), B (x2, f (x2)) (x1 < x2), 记直线AB 的斜率为k, 证明: 存在x0 ∈(x1, x2), 使f ′ (x0) = k 成立. 744

原卷配图（含真实几何/应用题图示）