2012年湖南（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年湖南（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设集合M = {−1, 0, 1}, N = {x | x2 ⩽x}, 则M ∩N = ( ) 5分
   A. {0} B. {0, 1} C. {−1, 1} D. {−1, 0, 1}
2. 2. 命题“若α = π 4 , 则tan α = 1”的逆否命题是 ( ) 4 , 则tan α̸ = 1 4 , 则tan α̸ = 1 4 4 5分
   A. 若α̸ = π B. 若α = π C. 若tan α̸ = 1, 则α̸ = π D. 若tan α̸ = 1, 则α = π
3. 3. 某几何体的正视图和侧视图均如下图所示, 则该几何体的俯视图不可能 是 ( ) (A) (B) (C) (D) 5分
4. 4. 设某大学的女生体重y (单位: kg) 与身高x (单位: cm) 具有线性相关关 系, 根据一组样本数据(xi, yi) (i = 1, 2, · · · , n), 用最小二乘法建立的回 归方程为ˆy = 0.85x −85.71, 则下列结论中不正确的是 ( ) 5分
   A. y 与x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心(x, y) C. 若该大学某女生身高增加1 cm, 则其体重约增加0.85 kg D. 若该大学某女生身高为170 cm, 则可断定其体重必为58.79 kg
5. 5. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 的焦距为10, 点P (2, 1) 在C 的渐近线上, 则 ( ) 20 −y2 5 = 1 (B) x2 5 −y2 20 = 1 (C) x2 80 −y2 20 = 1 (D) x2 20 −y2 80 = 1 5分
   C. 的方程为 A. x2
6. 6. 函数f (x) = sin x −cos ( x + π 6 ) 的值域为 ( ) (B) [ − √ 3, √ 3 ] (D) [ − √ 3 2 , √ 3 2 ] 5分
   A. [−2, 2] C. [−1, 1]
7. 7. 在△ABC 中, AB = 2, AC = 3, # » AB · # » BC = 1, 则BC = ( ) (A) √ 3 (B) √ 7 √ 2 (D) √ 23 5分
   C. 2
8. 8. 已知两条直线l1: y = m 和l2: y = 8 2m + 1 (m > 0), l1 与函数y = |log2x| 的图象从左至右相交于点A, B, l2 与函数y = |log2x| 的图象从左至右相 交于点C, D. 记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a, b. 当m 变化时, b ( ) √ 2 √ 2 3√ 4 3√ 4 5分
   A. 的最小值为 A. 16 B. 8 C. 8 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 在直角坐标系xOy 中, 已知曲线C1: { x = t + 1, y = 1 −2t, (t 为参数) 与曲线C2: { x = a sin θ, y = 3 cos θ, (θ 为参数, a > 0) 有一个公共点在x 轴上, 则a = . 5分
2. 2. 不等式|2x + 1| −2|x −1| > 0 的解集为 . 5分
3. 3. 如图, 过点P 的直线与⊙O 相交于A, B 两点. 若PA = 1, AB = 2, PO = 3, 则⊙O 的半径等于 . A O P B • 5分
4. 4. 已知复数z = (3 + i)2 (i 为虚数单位), 则|z| = . 5分
5. 5. ( 2√x −1 √x )6 的二项展开式中的常数项为 . (用数字作答) 5分
6. 6. 如果执行如图所示的程序框图, 输入x = −1, n = 3, 则输出的数 S = . 开始 输入x, n S = 6 i = n −1 i = i −1 S = S · x + i + 1 i ⩾0? 输出S 结束 否 是 5分
7. 7. 函数f (x) = sin (ωx + φ) 的导函数y = f ′ (x) 的部分图象如图所示, 其中, P 为图象与y 轴的交点, A, C 为图象与x 轴的两个交点, B 为图象的最低 点. (1) 若φ = π 6 , 点P 的坐标为 ( 0, 3 √ 3 2 ) , 则ω = ; (2) 若在曲线段˘ ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点, 则该点在 △ABC 内的概率为 . x y O P B A C y = f ′(x) 5分
8. 8. 设N = 2n (n ∈N∗, n ⩾2), 将N 个数x1, x2, · · · , xN 依次放入编号为1, 2, · · · , N 的N 个位置, 得到排列P0 = x1x2 · · · xN. 将该排列中分别位于 奇数与偶数位置的数取出, 并按原顺序依次放入对应的前N 2 和后N 2 个位 置, 得到排列P1 = x1x3 · · · xN−1x2x4 · · · xN, 将此操作称为C 变换. 将P1 分成两段, 每段N 2 个数, 并对每段作C 变换, 得到P2; 当2 ⩽i ⩽n −2 时, 将Pi 分成2i 段, 每段N 2i 个数, 并对每段作C 变换, 得到Pi+1. 例如, 当N = 8 时, P2 = x1x5x3x7x2x6x4x8, 此时x7 位于P2 中的第4 个位置. (1) 当N = 16 时, x7 位于P2 中的第 个位置; (2) 当N = 2n (n ⩾8) 时, x173 位于P4 中的第 个位置. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息, 安排一名员工随机收集了 在该超市购物的100 位顾客的相关数据, 如下表所示. 一次购物量 1 至4 件 5 至8 件 9 至12 件 13 至16 件 17 件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100 位顾客中一次购物量超过8 件的顾客占55%. (1) 确定x, y 的值, 并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期 望; (2) 若某顾客到达收银台时前面恰有2 位顾客需结算, 且各顾客的结算相 互独立, 求该顾客结算前的等候时间不超过2.5 分钟的概率. (注: 将频率 视为概率) 741
2. 2. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥平面ABCD, AB = 4, BC = 3, AD = 5, ∠DAB = ∠ABC = 90◦, E 是CD 的中点. (1) 证明: CD ⊥平面PAE; (2) 若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相 等, 求四棱锥P −ABCD 的体积. A P B C E D
3. 3. 已知数列{an} 的各项均为正数, 记A (n) = a1 + a2 + · · · + an, 2, · · · . (1) 若a1 = 1, a2 = 5, 且对任意n ∈N∗, 三个数A (n), B (n), C (n) 组成 等差数列, 求数列{an} 的通项公式; (2) 证明: 数列{an} 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是: 对任意 n ∈N∗, 三个数A (n), B (n), C (n) 组成公比为q 的等比数列.
4. 4. 某企业接到生产3000 台某产品的A, B, C 三种部件的订单, 每台产品需 要这三种部件的数量分别为2, 2, 1 (单位: 件). 已知每个工人每天可生产 人分成三组分别生产这三种部件, 生产B 部件的人数与生产A 部件的人 数成正比, 比例系数为k (k 为正整数). (1) 设生产A 部件的人数为x, 分别写出完成A, B, C 三种部件生产需要 的时间; (2) 假设这三种部件的生产同时开工, 试确定正整数k 的值, 使完成订单任 务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案.
5. 5. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 上的点均在圆C2: (x −5)2 + y2 = 9 外, 且对C1 上任意一点M, M 到直线x = −2 的距离等于该点与圆C2 上点 的距离的最小值. (1) 求曲线C1 的方程; (2) 设P (x0, y0) (y0̸ = ±3) 为圆C2 外一点, 过P 作圆C2 的两条切线, 分 别与曲线C1 相交于点A, B 和C, D. 证明: 当P 在直线x = −4 上运动 时, 四点A, B, C, D 的纵坐标之积为定值.
6. 6. 已知函数f (x) = eax −x, 其中a̸ = 0. (1) 若对一切x ∈R, f (x) ⩾1 恒成立, 求a 的取值集合; (2) 在函数f (x) 的图象上取定两点A (x1, f (x1)), B (x2, f (x2)) (x1 < x2), 记直线AB 的斜率为k. 问: 是否存在x0 ∈(x1, x2), 使f ′ (x0) > k 成立? 若存在, 求x0 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 742

原卷配图（含真实几何/应用题图示）