2012年福建（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年福建（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数(2 + i)2 等于 ( ) 5分
   A. 3 + 4i B. 5 + 4i C. 3 + 2i D. 5 + 2i
2. 2. 已知集合M = {1, 2, 3, 4}, N = {−2, 2}, 下列结论成立的是 ( ) 5分
   A. N ⊆M B. M ∪N = M C. M ∩N = N D. M ∩N = {2}
3. 3. 已知向量a = (x −1, 2), b = (2, 1), 则a ⊥b 的充要条件是 ( ) 2 5分
   A. x = −1 B. x = −1 C. x = 5 D. x = 0
4. 4. 一个几何体的三视图形状都相同, 大小均相等, 那么这个几何体不可以 是 ( ) 5分
   A. 球 B. 三棱锥 C. 正方体 D. 圆柱
5. 5. 已知双曲线x2 a2 −y2 5 = 1 的右焦点为(3, 0), 则该双曲线的离心率等于( ) √ 14 14 √ 2 4 2 3 5分
   A. 3 B. 3 C. 3 D. 4
6. 6. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的s 值等于 ( ) 开始 k = 1, s = 1 k = k + 1 s = 2s −k k < 4? 输出s 结束 否 是 5分
   A. −3 B. −10 C. 0 D. −2
7. 7. 直线x + √ 3y −2 = 0 与圆x2 + y2 = 4 相交于A, B 两点, 则弦AB 的长 度等于 ( ) √ 5 √ 3 (C) √ 3 5分
   A. 2 B. 2 D. 1
8. 8. 函数f (x) = sin ( x −π 4 ) 的图象的一条对称轴是 ( ) 4 2 4 2 5分
   A. x = π B. x = π C. x = −π D. x = −π
9. 9. 设f (x) =        1, x > 0, 0, x = 0, −1, x < 0, { 1, x 为有理数, 0, x 为无理数, 则f (g (π)) 的值 为 ( ) 5分
   G. (x) = A. 1 B. 0 C. −1 D. π
10. 10. 若直线y = 2x 上存在点(x, y) 满足约束条件        x + y −3 ⩽0, x −2y −3 ⩽0, x ⩾m, 则实数m 的最大值为 ( ) 2 5分
    A. −1 B. 1 C. 3 D. 2
11. 11. 数列{an} 的通项公式an = n cos nπ 2 , 其前n 项和为Sn, 则S2012 等于( ) 5分
    A. 1006 B. 2012 C. 503 D. 0
12. 12. 已知f (x) = x3 −6x2 + 9x −abc, a < b < c, 且f (a) = f (b) = f (c) = 0. 现给出如下结论: ①f (0) f (1) > 0; ②f (0) f (1) < 0; ③f (0) f (3) > 0; ④f (0) f (3) < 0. 其中正确结论的序号是 ( ) 5分
    A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 在△ABC 中, 已知∠BAC = 60◦, ∠ABC = 45◦, BC = √ 3, 则 AC = . 5分
2. 2. 一支田径队有男女运动员98 人, 其中男运动员有56 人. 按男女比例用分 层抽样的方法, 从全体运动员中抽出一个容量为28 的样本, 那么应抽取女 运动员人数是 . 5分
3. 3. 已知关于x 的不等式x2 −ax + 2a > 0 在R 上恒成立, 则实数a 的取值 范围是 . 5分
4. 4. 某地区规划道路建设, 考虑道路铺设方案. 方案设计图中, 点表示城市, 两 点之间连线表示两城市间可铺设道路, 连线上数据表示两城市间铺设道路 的费用, 要求从任一城市都能到达其余各城市, 并且铺设道路的总费用最 小. 例如: 在三个城市道路设计中, 若城市间可铺设道路的线路图如图1, 则最优设计方案如图2, 此时铺设道路的最小总费用为10. 现给出该地区 可铺设道路的线路图如图3, 则铺设道路的最小总费用为 . A 4 B 6 C 8 图1 • • • A 4 B 6 C 图2 • • • A 5 2 2 3 3 3 1 9 6 6 6 7 E B F C G D 图3 • • • • • • • 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在等差数列{an} 和等比数列{bn} 中, a1 = b1 = 1, b4 = 8, {an} 的前10 项和S10 = 55. (1) 求an 和bn; (2) 现分别从{an} 和{bn} 的前3 项中各随机抽取一项, 写出相应的基本 事件, 并求这两项的值相等的概率.
2. 2. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价, 将该产品按事先拟定的价 格进行试销, 得到如下数据: 单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件) 90 84 83 80 75 68 (1) 求回归直线方程ˆy = bx + a, 其中b = −20, a = y −bx; (2) 预计在今后的销售中, 销量与单价仍然服从(1) 中的关系, 且该产品的 成本是4 元/件, 为使工厂获得最大利润, 该产品的单价应定为多少元? (利润= 销售收入−成本) 731
3. 3. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, AB = AD = 1, AA1 = 2, M 为 棱DD1 上的一点. (1) 求三棱锥A −MCC1 的体积; (2) 当A1M + MC 取得最小值时, 求证: B1M ⊥平面MAC. B C D M A B1 C1 D1 A1 •
4. 4. 某同学在一次研究性学习中发现, 以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin2 13◦+ cos2 17◦−sin 13◦cos 17◦; ②sin2 15◦+ cos2 15◦−sin 15◦cos 15◦; ③sin2 18◦+ cos2 12◦−sin 18◦cos 12◦; ④sin2 (−18◦) + cos2 48◦−sin (−18◦) cos 48◦; ⑤sin2 (−25◦) + cos2 55◦−sin (−25◦) cos 55◦. (1) 试从上述五个式子中选择一个, 求出这个常数; (2) 根据(1) 的计算结果, 将该同学的发现推广为三角恒等式, 并证明你的 结论.
5. 5. 如图, 等边三角形OAB 的边长为8 √ 3, 且其三个顶点均在抛物线E: x2 = 2py (p > 0) 上. (1) 求抛物线E 的方程; (2) 设动直线l 与抛物线E 相切于点P, 与直线y = −1 相交于点Q. 证 明: 以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点. x y O B A
6. 6. 已知函数f (x) = ax sin x −3 2 (a ∈R), 且在 [ 0, π 2 ] 上的最大值为π −3 2 . (1) 求函数f (x) 的解析式; (2) 判断函数f (x) 在(0, π) 内的零点个数, 并加以证明. 732

原卷配图（含真实几何/应用题图示）